- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
Le directeur commercial d'un supermarché sait que, chaque mois, 85% des clients venus le mois précédent dans son magasin reviennent le mois suivant. Il décide alors de lancer, chaque mois, une grande campagne d'offres promotionnelles visant à accueillir en plus 1200 nouveaux clients dans le mois, tout en gardant ce taux de fidélisation de 85% d'un mois sur l'autre. On suppose enfin que 5000 clients sont allés dans le supermarché le mois précédant la mise en place de cette nouivelle stratégie et on pose U0 = 5000.
1. a) Calculer U1 et U2.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer Un+1 en fonction de Un.
c)Le directeur commercial présente cette stratégie comme permettant de dépasser 7000 clients. A l'aide d'un algorithme, déterminer le nombre de mois nécessaires pour atteindre cet objectif.
d) Le propriétaire du magasin trouve cette stratégie trop lente et affirme qu'il faudra attendre au moins un an et demi pour dépasser les 7500 clients dans le mois. A-t-il raison? Justifier.
2. En observant au moins les 60 premiers termes de la suite obtenus à l'aide de la calculatrice, faire une conjecture sur la limite de la suite (Un).
3. L'objectif de ce qui suit est de confirmer ou d'infirmer cette conjecture. On pose, pour tout entier n, Vn = Un - 8000.
a) Calculer V0, V1 et V2.
b) Exprimer Vn+1 en fonction de Un+1, puis en fonction de Un, puis en fonction de Vn. En déduire que (Vn) est une suite géométrique de raison 0.85.
c) Donner alors une expression de Vn en fonction de n.
d) Déduire de la question précédente que, pour tout entier n, Un = -3000 * 0.85^n + 8000
e) A partir de cette expression, confirmer ou infirmer la conjecture faite au 2.a).
f) Justifier qu'il existe un entier N à partir duquel la distance en Un et 8000 est strictement inférieure à 1. Déterminer cet entier N. Que peut-on en déduire pour la clientèle du supermarché?
Où j'en suis dans mon devoir
Bonjours je suis bloqué à la question e) et f) de ce problème et je n'arrive donc pas à le terminer, quelqu'un pourrait m'aider svp merci
4 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
alors pour la question e):
Comme on a Un = -3000 * (0.85)^n + 8000, il suffit de calculer la limite de cette suite en faisant tendre n vers l'infini.
Le terme -3000*(0.85)^n tend vers 0 car 0.85 est inférieur 1, du coup il ne reste plus que le terme 8000.
Pour la question f):
Il faut utiliser une inégalité qui se résume à Un - 8000 < 1 (remplace Un par son expression) et utilise la propriété de la fonction logarithme népérien combiné à la fonction exponentielle pour isoler le n que tu cherches.
Bon courage !
Bonjour tout d'abord merci pour votre aide, pour la question f) je n'ai pas vu le logarithme népérien, on m'a déjà conseillé cette technique mais je ne l'ai pas vu en cours :/
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
bonjour
quelle conjecture avez-vous fait au 2) ?
Avez-vous trouvé Vn en fonction de n au 3c ) ?
Bonjour, merci de m'aider j'ai conjecturer que la limite tend vers 8000 et j'ai trouvé Vn=0,85^n*-3000