fonction exponentielle fonction puissance

Sujet du devoir

Problème
démontrer que pour tout réel a et b on a : ab≤a²/2+b²/2.
A) en déduire que pour tout nombre réels u v strictement positifs. On a
(lnu+lnv)/2≤ln⁡((u+v)/2)
b) démonter que pour tout nombre réels u et v on a :
e^((u+v)/2)≤(e^u+e^v)/2
Généralisation
Soit p et q deux nombre réels strictement positifs, on a : 1/p+1/q=1
a)démontrons que pour tout nombre a et b strictement positifs on a : ab≤a^p/p+b^q/q.
(on pourra étudier les variations de la fonction f de [0,+∞┤[ vers R définie par : f(x)=ax-x^q/q.)
Dans quel a-t-on l’égalité ?
b) en déduire
. pour tout nombre réels u et v strictement positifs, on a : lnu/p+lnv/q≤ln⁡(u/p+v/q);
.pour tout nombre réels u et v on a :e^(u/p+v/q)≤e^u/p+e^v/q.
c) soit (Π) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, A et B le point de (Π)
d’abscisse respective u et v.
interpréter graphiquement la première inégalité du 3.b), en considérant le barycentre K des poins pondérés (A, 1/p ) et (B, 1/q ), et le point D de (Π) de même abscisse que K.
de même, interpréter graphiquement la deuxième inégalité du 3.b).
ou encore voire livre de maths collection CIAM exercice 34 page 273

Où j'en suis dans mon devoir

en utilisant l'identité remarquable (a-b)² supérieure à zéro et en démontre la première inégalité et en posant u=a² et v=b² j'ai pû démontrer la deuxième inégalité. et puis je n'ai pas pû continuer.