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Sujet du devoir
f(x)= cos^4(x)et g(x) = sin^4(x) définies sur R
a) A l'aide de la formule : cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2
Démontrer que cos^4(x)=1/8 cos(4x)+1/2 cos(2x)+3/8
En déduire les fontions primitives de f
b) Par la même méthode, determiner les fonctions primitives de g sur R
c) Démontrer l'égalité f(x)+g(x)= 1- 2cos²(x) sin²(x)
En déduire les fonctions primitivez de h(x) = cos²(x)sin²(x) sur R
Où j'en suis dans mon devoir
a) Je n'ai pas réussi à démontrer que cos^4(x)=1/8 cos(4x)+1/2 cos(2x)+3/8J'ai seulement fais les fonctions primitives :
F(x)= 1/32 sin(4x)+1/4sin(2x)+3/8x+C
b) Je devrais trouver sin^4(x)=1/8 cos(4x)-1/2 cos(2x)+3/8
avec sin(x)=(e^ix-e^-ix)/2i Mais je n'y arrive pas
c) ?
5 commentaires pour ce devoir
Je ne comprends pas
Sans doute n'as-tu donc pas abordé la formule du binôme de Newton...
Dans ce cas, il faut utiliser développer classiquement, mais voilà qui est bien fastidieux et un tantinet source d'erreurs.
cos(x) = (e^ix + e^-ix) / 2
cos^4(x)
= [(e^ix + e^-ix) / 2]^4
= [(e^ix + e^-ix) / 2]^2 * [(e^ix + e^-ix) / 2]^2
>>> utilise les identités remarquables
>>> ensuite, distributivité
>>> enfin, tu regroupes les termes pour obtenir la linéarisation demandée
Dans ce cas, il faut utiliser développer classiquement, mais voilà qui est bien fastidieux et un tantinet source d'erreurs.
cos(x) = (e^ix + e^-ix) / 2
cos^4(x)
= [(e^ix + e^-ix) / 2]^4
= [(e^ix + e^-ix) / 2]^2 * [(e^ix + e^-ix) / 2]^2
>>> utilise les identités remarquables
>>> ensuite, distributivité
>>> enfin, tu regroupes les termes pour obtenir la linéarisation demandée
Merci j'ai reussis de cette façon
Mais je n'arrive pas à faire la question c)
Mais je n'arrive pas à faire la question c)
f(x) + g(x)
= cos^4(x) + sin^4(x)
= cos^4(x) + (sin²(x))²
= cos^4(x) + (1 - cos²(x))²
= cos^4(x) + 1 + cos^4(x) - 2cos²(x)
= 2cos^4(x) + 1 - 2cos²(x)
= 2cos²(x)cos²(x) + 1 - 2cos²(x)
= 1 + 2cos²(x)(cos²(x) - 1) >>> je factorise par 2cos²(x)
= 1 + 2cos²(x)(-sin²(x))
= 1 - 2cos²(x)sin²(x)
= cos^4(x) + sin^4(x)
= cos^4(x) + (sin²(x))²
= cos^4(x) + (1 - cos²(x))²
= cos^4(x) + 1 + cos^4(x) - 2cos²(x)
= 2cos^4(x) + 1 - 2cos²(x)
= 2cos²(x)cos²(x) + 1 - 2cos²(x)
= 1 + 2cos²(x)(cos²(x) - 1) >>> je factorise par 2cos²(x)
= 1 + 2cos²(x)(-sin²(x))
= 1 - 2cos²(x)sin²(x)
Ils ont besoin d'aide !
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Les formules d'Euler sont souvent couplées au binôme de Newton pour pouvoir obtenir les coefficients des termes du développement.