Intégrales

Sujet du devoir

Exercice 1
Soit la fonction f définie sur I=R+* par f(x)=x-lnx/x²
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm
Partie 1 1. Soit u la fonction définie sur I par u(x)=x³-1+2lnx
a Etudier le sens de variation de la fct u sur I
b Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) sur I
2.a Déterminer les limites de f aux bornes de sont domaines de définition.
b Déterminer le tableau des variations de f
3.a Démontrer que C admet une asymptote oblique delta dont on précisera une équation
b etudier les positions relatives de C et delta
c tracer C et delta

Partie 2 On note a un réel strictement positif et on désigne par A(a) l'aire en cm²
de la partie de plan délimitée par la courbe C la droite delta et les droites d'équation x=1 et x=a
1 Dans cette question on suppose a>1
a A laide d'une intégration par parties exprimer A(a) en fct de a
b Déterminer la limite L de A(a) qd a tend vers +inf
2. démontrer que L=A(e^-1)

Exercice 2
Soit la fct définie sur R+ par f(x)=xe^(-x²)
on désigne par C la courbe représentative de la fct f ds un repère orthonormé du plan
1.a Déterminer la limite de la fct f en +inf
On peut écrire pr tt x différent de 0 f(x)=(1/x)*(x²/e^x²)
b Démontrer que f admet un maximum en rac2/2 et calculer ce maximum
2 Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unites d'aire et en fct de a l'aire F(a) de la partie de plan limitée par la courbe C l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=a
Quelle est la limite de F(a) qd a tend vers +inf
3. On considère la suite (un) définie pr tt entier naturel n par
Un=intégrale allant de n à n+1 de f(x)dx
a démontrer que pr tt entier naturel n différent de 0 et 1
f(n+1)= b Quel est le sens de variation de la suite (Un)n>=2 ? n>=2 en indice
c Montrer que la suite (Un) converge. Quelle est sa limite

Exercice 3
On donner la représentation graphique d'une fct f continue sur l'intervalle I=[-3;8]

(Indication du graphique f ne descend pas en dessous de -1 et son maximum est f(2)=3 f(0)=0 et f(4)=0 f croit sur -3/2 et décroit sur 2/8
f<0 sur -3/0 et sur 4/8 et f>0 sur 0/4
sur 0/4 f est une parabole
si vous voulez d'autre indication dites le moi )
On définit la fct F sur I par F(x)=intégrale allant de 0 à x de f(t)dt
1.a Que vaut F(0) ?
b Donner le signe de F(x) pour xE0/4 (E est le signe appartient) puis pr xE-3/0. Justifier
c Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier l'encadrement 6= 2.a Que représente f pr F ?
b Déterminer le sens de variation de la fct F sur I. Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de f

Où j'en suis dans mon devoir

Ex 1 je suis bloqué a la question 3.a partie 1
je ne trouve pas comment faire

Ex 2 je suis bloqué à la question 1.b je ne vois pas comment faire ( étudier le sens de variation ? )

Ex 3 je suis bloqué à la question 1.b