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Sujet du devoir
Bonjour j'ai ce long exercice à effectuer et tout cela c'est pas trop mon fort même pas du tout ...Soit φ et ψ les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :
φ(x) =e-x -(1-x+x²/2 - x3/6)
et ψ(x) = e-x -(1-x+ x²/2 - x3/6 + x4/24)
Calculer φ'(x), φ''(x) et φ'''(x) pour x appartenant à [0 ; +∞[
Etudier le signe de φ''' sur [0 ; +∞[, et e déduire les variations puis le signe de φ'' sur [0 ; +∞[.
Déterminer le signe de φ' puis de φ sur [0 ; +∞[.
Vérifier que : Quelque soit x qui appartient à [0 ; +∞[, ψ'(x) = φ'(x).
En déduire les variations puis le signe de ψ sur [0 ; +∞[.
Déduire des questions précédentes un encadrement du nombre 1/e par deux nombres rationnels.
Encadrer e par deux nombres rationnels et déterminer l'amplitude de cette encadrement.
Démontrer que : pour tout réel x strictement positif,
1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! < e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! + x6/6!.
En déduire un nouvel encadrement de e par deux nombres rationnels, puis un encadrement de e d'amplitude 0.012 par deux nombres décimaux.
Démontrer par récurrence sur l'entier n que :
Quelque soit n appartenant à ℕ*, Quelque soit x appartenant à ]0 ; +∞[,
1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)!< e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)! + x2n/(2n)!.
On se propose, dans cette question, de démontrer que e est un nombres irrationnel, ce qui équivaut à démontrer que 1/e est un nombre irrationnel.
On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que e = p/q.
Soit n un entier naturel, tel que 2n ≥ p.
Démontrer qu'alors q*(2n)!/p est un entier strictement compris entre deux entiers naturels consécutifs.
Conclure.
Merci d'avoir pour votre aide en espérant sincèrement en avoir
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai ceci :φ' = 3x² - 2x - 1 - e-x
φ'' = 6x - 2 + e-x
φ''' = 6 - e-x
Ensuite il me faudrait résoudre 6 - e-x = 0 on m'a indiquer d'utiliser la fonction In mais je ne sais pas comment faire
3 commentaires pour ce devoir
Il faudrait commencer par numéroter les questions!
cordialement.
cordialement.
Numéroter ou non sa ne change rien elle sont dans l'ordre même si je vous l'accorde sa aurais fait plus clair ^^ fin bon si vous insistez :
1) a) Calculer φ'(x), φ''(x) et φ'''(x) pour x appartenant à [0 ; +∞[
b) Etudier le signe de φ''' sur [0 ; +∞[, et e déduire les variations puis le signe de φ'' sur [0 ; +∞[.
c) Déterminer le signe de φ' puis de φ sur [0 ; +∞[.
2) a) Vérifier que : Quelque soit x qui appartient à [0 ; +∞[, ψ'(x) = φ'(x).
b) En déduire les variations puis le signe de ψ sur [0 ; +∞[.
3) a) Déduire des questions précédentes un encadrement du nombre 1/e par deux nombres rationnels.
b) Encadrer e par deux nombres rationnels et déterminer l'amplitude de cette encadrement.
4) a) Démontrer que : pour tout réel x strictement positif,
1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! < e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! + x6/6!.
b) En déduire un nouvel encadrement de e par deux nombres rationnels, puis un encadrement de e d'amplitude 0.012 par deux nombres décimaux.
5) Démontrer par récurrence sur l'entier n que :
Quelque soit n appartenant à ℕ*, Quelque soit x appartenant à ]0 ; +∞[,
1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)!< e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)! + x2n/(2n)!.
6) On se propose, dans cette question, de démontrer que e est un nombres irrationnel, ce qui équivaut à démontrer que 1/e est un nombre irrationnel.
a) On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que e = p/q.
Soit n un entier naturel, tel que 2n ≥ p.
Démontrer qu'alors q*(2n)!/p est un entier strictement compris entre deux entiers naturels consécutifs.
b) Conclure.
1) a) Calculer φ'(x), φ''(x) et φ'''(x) pour x appartenant à [0 ; +∞[
b) Etudier le signe de φ''' sur [0 ; +∞[, et e déduire les variations puis le signe de φ'' sur [0 ; +∞[.
c) Déterminer le signe de φ' puis de φ sur [0 ; +∞[.
2) a) Vérifier que : Quelque soit x qui appartient à [0 ; +∞[, ψ'(x) = φ'(x).
b) En déduire les variations puis le signe de ψ sur [0 ; +∞[.
3) a) Déduire des questions précédentes un encadrement du nombre 1/e par deux nombres rationnels.
b) Encadrer e par deux nombres rationnels et déterminer l'amplitude de cette encadrement.
4) a) Démontrer que : pour tout réel x strictement positif,
1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! < e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + x4/4! - x5/5! + x6/6!.
b) En déduire un nouvel encadrement de e par deux nombres rationnels, puis un encadrement de e d'amplitude 0.012 par deux nombres décimaux.
5) Démontrer par récurrence sur l'entier n que :
Quelque soit n appartenant à ℕ*, Quelque soit x appartenant à ]0 ; +∞[,
1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)!< e-x
<1-x + x²/2! - x3/3! + ... - x2n-1 /(2n-1)! + x2n/(2n)!.
6) On se propose, dans cette question, de démontrer que e est un nombres irrationnel, ce qui équivaut à démontrer que 1/e est un nombre irrationnel.
a) On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que e = p/q.
Soit n un entier naturel, tel que 2n ≥ p.
Démontrer qu'alors q*(2n)!/p est un entier strictement compris entre deux entiers naturels consécutifs.
b) Conclure.
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Déjà dans Phi' on ne peut pas avoir de "/2" vu que que sa dérivé n'existe pas ... sauf erreur de ma part
J'ai essayé un truc mais que j'ai surement pas le droit de faire c'est (f-g)' sauf que cette dérivé n'existe pas c'est (f+g)' mais en faisant (f-g)' j'ai trouvé Phi'= e^-x -(-1+2x - 3x²)
Et je n'ai pas compris pourquoi vous faites Phi(x) = e^-x -(1-x+x²/2 - x3/6) = e-x -1+x-x²/2 + x^3/6
Merci de m'accorder votre aide !