Les nombres de Fermat

Sujet du devoir

Bonjour ! J'ai un DM de spé maths sur les nombres de Fermat et j'ai beaucoup de mal sur certaines questions. Si vous pouviez m'aider je vous en serais très reconnaissant

Voici l'énoncé:
On appelle nombre de Fermat les entiers Fn=2^(2^n) +1
1) Vérifier avec une calculatrice que les entiers Fj sont premiers pour 0<=j<=4
2) Vérifier que tous les nombres de Fermat sont impairs.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier n>=1, on a : F0F1...F(n-1)=Fn-2
4) Déduire des deux questions précédentes que si d est un diviseur commun à deux nombres de Fermat, alors d=1.
5) Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce qui précède une démonstration de l'infinité des nombres premiers.

Voilà! Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider =)

Où j'en suis dans mon devoir

1) Fait
2) Fait
3) C'est sur cette question que j'ai des difficultés. J'ai écris:
*Initialisation : Soit P(n) : "F0F1...F(n-1)=Fn-2" pour tout n appartenant à N avec n>=1

n=1 F1=5 donc F0=F1-2 ce qui équivaut à 3=5-2 donc 3=3 P(1) est vraie.
*Hérédité : On suppose que pour un certain rang n, P(n) est vraie. Démontrons dans ce cas que P(n+1) l'est aussi.
On sait que: F0F1...F(n-1)=Fn-2 ce qui équivaut à 2^(2^n)-1
et on sait que: Fn=2^(2^n)+1
On veut démontrer que: F(n+1)-2=F0F1...Fn

Et là je ne sais pas comment démarrer...
4)D'après ce que j'ai compris, d est un diviseur commun à deux nombres de Fermat. On sait que les nombres de Fermat sont impairs, mais je ne vois pas ce qu'il faut faire pour montrer que d=1. Et je ne vois pas à quoi peut nous servir la question 3) pour répondre à cette question.
5) J'ai vu dans mes exercices une démonstration de l'infinité des nombres premiers. Mais je me demandais si je pouvais mettre la même parce que la question nous dit de déduire d'après ce qui précède.
Sinon, voilà la démonstration :
N=p1*p2*...*pk+1
N=q*q1+r 0<=r<p1
le reste de la division euclidienne de N par p1 est 1.
De la même façon, pour tout i appartenant à [1;k] le reste de la division euclidienne de N par pi est égal à 1 donc aucun pi ne divise N.
Par conséquent, l'algorithme affichera N, ceci implique que N est un nombre premier et pour tout i appartenant à [1;k], N est différent de pi.
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini