Les suites

bonjour,

on calcule delta pour trouver les racines d'un trinôme : ce n'est pas utile ici.

f(x)= (1/4)x² - (1/4)x + 1 --- est-ce bien ainsi ?
fonction trinôme
a >0 donc la fonction est décroissante jusqu'au sommet, puis croissante

quel est le sommet (alpha;béta)?
on calcule alpha = -b/2a = (1/4) / (2*1/4) = 1/4 * 2 = 1/2

f est décroissante sur ]-oo;1/2] et croissante sur [1/2;+oo[ --ok
Donc f est croissant sur [1;3] ---ok
---

b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1<=Un<=3

{u0=3
{U(n+1)= 1/4 Un²-1/4 Un +1 --- n € N

donc
U1 = f(U0) = f(3) = 1/4 *3-1/4*3 +1 = 2.5
on a bien 1<= U1 <=3

pour l'hérédité et la rédaction de ta démo., regarde ce lien :
http://www.sos-devoirs-corriges.com/images/exercices-corriges-maths/lycee-1ere-S/suites-raisonnement-par-recurrence-exercices-corriges.pdf


c. Démontrer que la suite (Un) est décroissante.
pars de la définition :
Un >= U(n+1) <=>
Un >= 1/4 Un²-1/4 Un +1 <=>
réduis cette inéquation, puis résous-la
déduis-en que sur l'intervalle, la suite est décroissante.

Bonsoir !

Je te remercie pour tes explications ainsi que pour le lien que tu m'as donné j'ai pu comprendre certaines correction ainsi que les démarches à faire:)
Mais j'ai quelques soucis de compréhension avec ce nouveau chapitre.
Le professeur nous a donné une correction pour l'exercice :

a) On calcule la dérivée de f(x)=1/4x²-1/4x+1 :
f'(x)=2x1/4x-1/4
=1/2x-1/4

-Je ne comprends pas comment on passe de la ligne 2x1/4x-1/4 à 1/2x-1/4. Je sais que x² deviens 2x mais pour la suite je ne comprends pas.

Il a ensuite fait le tableau :
x 1 3
f(x) 1 (flèche croissante) 2,5

b) Initialisation :
on note Pn 1<=Un<=3
u0=3
On a 1<=3<=3
Donc Po est vraie.

-J'ai comprit pour l'initialisation.

Hérédité :
On sait que Pn est vrai pour un certain n>0
Montrons que Pn+1 est vrai.

-On sait que Pn est + grand que 0 est-ce que parce que Un > 1 dans 1<=Un<=3 ?
Est-ce que dans le raisonnement par récurrence il faut toujours démontrer que ça marche pour Un+1 ?

Pn <=> 1 <=Un<=3
<=>f(1)<=f(Un)<=f(3)
<=>1<=f(Un)<=2,5
=>1<=f(Un)<=3
<=>1<=Un+1<=3

Donc Pn+1 est vrai

Conclusion :
Pn est initialisé et Pn est héréditaire elle est donc vraie pour tout n.

-Pourquoi est-ce que pour la 3ème ligne (=>1<=f(Un)<=3) le professeur a-t-il mit => et plus <=> ?
On a mit 3 à la place de 2,5 car dans la logique si f(Un) est + grand que 2,5 donc il l'est aussi pour 3 ?
Si la suite Un est croissante (ce qui est le cas ici) pour tout n, alors Un+1>Un. Je pense que si Un+1=>Un alors c'est possible que Pn+1 soit supérieur que 3 non ?

c) On note Qn Un+1<=Un
Initialisation : U0=3,
U1=f(U0)
=f(3)
=2,5

On a bien U1<=U0

Hérédité : On sait que Qn est vrai
Montrons que Qn+1 est vrai
Qn <=> Un+1 <= Un
<=>f(Un+1) <= f(Un) car f est croissante
<=>Un +2 => Un+1
Donc Qn+1 est vrai

Conclusion :
Pn est initialisé et Pn est héréditaire elle est donc vraie pour tout n.

-Pourquoi « Qn »? Qu'est-ce que ça signifie ?
Sinon, je suis d'accord à propos de Un+1<=Un puisqu'on cherche à montrer que la suite Un est décroissante comme dans ton explication.et comment est apparu le +2 à la 3ème ligne ?
Je ne sais pas si je me trompe mais dans la solution que tu me proposes pour résoudre la question c) Est-ce une autre manière pour montrer que c'est décroissant ou la meme que celui du corrigé de mon professeur ?

J'espère que je ne te déranges pas avec mes questions, si tu ne peux pas répondre je comprendrai.
En tout cas merci pour ton aide !:)

bonsoir :)
je suis prise sur un autre devoir puis je vais devoir couper pour aujourd'hui.
ça peut attendre demain?

Il y a pas de soucis, mon devoir ne presse pas c'est juste de la compréhension
Oui ça peut attendre pour demain ;)
J'ai une autre question également (tu me répondras demain)mais je le laisse sur le site pour que tu puisses voir demain quand tu auras le temps :)

Question: quand on dit qu'une suite est Majorée c'est qu'il y a un maximum et quand une suite est minoré c'est qu'elle a un minimum?

Bonne soirée, à demain :)

Pour la c) c) On note Qn Un+1<=Un
Initialisation : U0=3,
U1=f(U0)
=f(3)
=2,5

Pourquoi U1=f(U0)?
D'habitude n'est-ce pas U1=f(U1)? On me dit que U0 permet de trouver U1 je ne vois pas trop comment... je sais qu'il y a une formule avec +1 mais je ne comprends pas la démarche pour la c).

Pardon de te déborder de question...

bonjour Kokoricool :)

il va falloir se secouer les plumes en ce début de TS ^^, apparemment tu as encore l'esprit un peu en vacances, non ? ;)

on utilisera * pour la multiplication, pour ne pas confondre avec la variable x.

a) f'(x)=2*(1/4)x - 1/4 = (1/2) x-1/4 --- 2 fois 1/4, ça fait 1/2

tab. de variation de f : as-tu compris celui de la correction?

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"Est-ce que dans le raisonnement par récurrence il faut toujours démontrer que ça marche pour Un+1 ?"
je dirais que lorsque la proposition à démontrer (Pn) est en fonction de Un, alors oui, pour il faut montrer que "ça marche" pour U(n+1):
- dans l'initialisation, on s'assure que la proposition est vraie pour le 1er terme (en effet, ici le 1er terme, c'est U0),
- dans l'hérédité on part de l'hypothèse qu'elle est vraie au rang n, et on chercher à démontrer qu'elle est encore vraie au rang suivant , i.e. au rang n+1

dans ton exemple :
on part de l'HYPOTHÈSE que la proposition Pn: 1<=Un<=3 est vraie,
et on va montrer que P(n+1): 1<=U(n+1)<=3 est vraie aussi
---

"Pourquoi est-ce que pour la 3ème ligne (=>1<=f(Un)<=3) le professeur a-t-il mit => et plus <=>"

le symbole logique <=> signifie "est équivalent à"
on l'utilise pour dire que les 2 propositions de part et d'autre sont parfaitement équivalentes : on peut passer de l'une à l'autre, sans remettre en cause la véracité de la proposition.

le symbole logique => signifie "implique"
on l'utilise pour dire que la 1ère proposition entraine la seconde,
mais il n'est pas systématique que la seconde implique la 1ère.

f(1)<=f(Un)<=f(3)
<=>1<=f(Un)<=2,5
--- ici il y a équivalence puisque f(1)=1 et f(3)=2.5

=> 1<=f(Un)<=3 --- ici, pas équivalence
le fait que f(n)<=2.5 ENTRAINE logiquement que f(n)<=3

mais l'inverse n'est pas toujours vrai :
on ne peut en effet pas dire :
f(n)<=3 entraine que f(n)<=2.5 ---- par ex si f(n)était = à 2.7 !

est-ce que tu comprends la différence ?
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c) "-Pourquoi « Qn »? Qu'est-ce que ça signifie ?

on a l'habitude de donner des noms aux propositions à démontrer
on avait appelé Pn la proposition : 1<=Un<=3

on appelle Qn la nouvelle proposition à démontrer: Un+1<=Un
---

"comment est apparu le +2 à la 3ème ligne ?"

on a :
f(Un+1) <= f(Un)
<=>U(n+2) => Un+1
tout simplement par la définition mm de la suite : Un+1=f(Un)

l'image par f du terme de rang n, c'est le terme U(n+1)
tout comme l'image par f du terme de rang n+1, c'est le terme U(n+2)
---

"la solution que tu me proposes pour résoudre la question c) Est-ce la meme que celui du corrigé de mon professeur ?"

non, c'est une autre façon : ton professeur démontre par récurrence, moi pas.
mais évidement, tu fais celle du professeur, qui est d'ailleurs plus simple :)
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" quand on dit qu'une suite est Majorée c'est qu'il y a un maximum et quand une suite est minoré c'est qu'elle a un minimum? "
oui c'est ça, mais pour les suites, on parlera plutôt de majorant et de minorant
pour les définitions, regarde ce lien:
http://www.maxicours.com/se/fiche/7/5/419657.html/ts

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Pourquoi U1=f(U0)? je t'ai répondu plus haut (définition de la suite)

"D'habitude n'est-ce pas U1=f(U1)? " ah non, c'est comme si tu écrivais x=f(x)
comment pourrais-tu calculer U1 avec ça?
le principe est de pouvoir calculer un terme en utilisant le terme PRÉCÉDENT.
c'est le principe de la définition d'une suite par récurrence.
je te laisse te replonger dans le cours ?

n'hésite pas si tu as d'autres questions, je suis là pour ça :)
a+

Bonjour Carita! :)

Merci beaucoup pour ta réponse. Il est vrai que j'ai quelques difficultés en mathématiques mais je vais tout faire pour pouvoir surmonter cela car je veux vraiment comprendre et pas que apprendre.
J'ai pu voir tes explications que je regarderai certainement mieux ce soir (il me reste pas mal de devoirs à finir pour demain). En tout cas j'ai pu voir que tes réponses sont plus clairs, il faut juste que je revois bien ce soir tranquillement !:)
Sinon j'ai une dernière question et que j'aimerai que tu m'explique qui est en rapport avec l'exercice :
Pour la question b. Si la suite Un est croissante (ce qui est le cas ici) pour tout n, alors Un+1>Un. Je pense que si Un+1=>Un alors c'est possible que Pn+1 soit supérieur que 3 non ? Alors que dans l’hérédité on met <=>1<=Un+1<=3 .
Ma remarque et ce que je pense sont certainement fausse mais j'aimerai beaucoup comprendre.
Pardonne moi si tu m'as déjà répondu dans tes explication par rapport à ce texte mais j'ai pas encore tout vu je verrai ce soir donc si tu penses m'avoir déjà expliquer dans la réponse que tu m'as donné n'hésite pas à ma le dire pour t'éviter de répéter ^^''

Il y a quelques autres exercices ou j'ai eut la correction et qu'il y a quelques incompréhension j'espère que tu pourras m'aider ! =)
Je te remercie beaucoup pour ce soutient en mathématiques en tout cas!:)

bonjour
as-tu eu le temps de lire tranquillement mes indications?
reste-t-il d'autres questions ?
à bientôt.

Bonjour Carita j'ai pu en effet lire tranquillement tes indications et j'ai comprit l'exercice, ce qu'il demande et les réponses données =) Je te remercie beaucoup !

J'ai quelques questions à propos d'un autre exercice, penses-tu pouvoir m'aider ?

si je sais faire, c'est volontiers, mais pas tout de suite, je vais devoir couper.
au plus tard, je reviens demain matin.
si l'énoncé est un peu long, poste carrément un nouveau devoir, ça sera plus facile.
a+

Merci beaucoup!:)
a bientot ^^

bonjour
j'ai vu que Chut a pris le devoir : tu es entre de très bonnes mains :)