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Sujet du devoir
Soient f et g deux fonctions telles que f(x)>=0, g(x)>0 et lim( f(x)/g(x) )= 0 pour x->+OO.VRAI OU FAUX : si lim f(x) pour x->+OO existe et est non nulle alors
lim g(x)=+OO pour x->+OO.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai étudié le problème dans les deux cas possibles :CAS 1 : lim f(x)= L avec L>0. Il faut nécessairement lim g(x)=+OO (cf propriété de quotient de limites.
CAS 2 : lim f(x)=+OO. Pour moi, il faut également que lim g(x)=+OO mais là, nous sommes dans des formes indéterminées à traiter au cas par cas. Le problème est dans l'existence de formes indéterminées ?
D'abord j'avais résonné dans l'autre sens, mais cela m'a paru faux! A confirmer ! Je me suis dit si lim f(x)=+OO et lim g(x)=+OO alors on a pas forcément lim (f(x)/g(x))=0. Prenez l'exemple de x²/x+1. Mais là, je crois que je modifie les hypothèses !
Je crois que finalement, le problème se joue dans le vocabulaire et donc dans l'énoncé du problème ! Merci de votre aide !
PS: toutes les limites que je considère sont en +OO
2 commentaires pour ce devoir
Merci beaucoup de cette aide très fructueuse !
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Lim (f/g)=0 de plus on suppose que lim(f)= L non nul.
1ère méthode:
lim(f/g)=Lim(f)xLim(1/g)
donc 0 = L xLim(1/g)
donc 0/L = Lim(1/g)
donc Lim(1/g)=0
g étant positive Lim (g)=+OO
2ème méthode
*) Soit lim(g)=L' non nul alors lim (f/g)=L/L' non nul, contradict°
**) Soit Lim(g)=+OO Lim(1/g)=0 et lim (f/g)=Lim(f)xLim(1/g)=Lx0=0
terminus