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Sujet du devoir
Partie 1Soit g définie sur (0; + infini ( par: g(x)= ln (1 + x) - ( (1,5x^2 + x)/(x+1)^2 ).
1) Déterminer lin g(x) en + infini
2) calculer g'(x) et étudier son signe
3) Dresser le tableau de variation de g. En déduire le signe de g(x).
Partie 2
Soit f définie sur [0, +infini[ par:
f(x)= (ln (1+x))/x - (0,5/(x+1)) si x different de 0 et f(0)=0,5
1- Montrer que f est continue en 0
2- Déterminer lim x--> + infini de f(x)
3- Montrer que pour tout x de ]0,+infini[
f'(x)= -g(x)/x^2
Où j'en suis dans mon devoir
lim g(x)= + infinig'(x)= x^2/(x+1)^3
la derivée est positve, la fonction croissante.
pour x>0, g(X) est positive.
pour demontrer que f est continue en 0 je calcule la lim en 0, et ça me donne 0,5. donc la lim=f(0) . Alors f est continue.
j'arrive pas à demontrer la 3 de la partie 2
11 commentaires pour ce devoir
J'ai trouvé! =)
C'est qu'avant je m'étais trompé dans le calcul. Je trouve (1,5x^2+x)/x^2(1+x)^2 - ln(1+x)/x^2. c'est bien f'(x)= -g(x)/x^2.
Mais maintenant je ne trouve pas comment faire la limite.
Je sais que lim x-->+infini de 0,5/ (x+1) est 0 donc lim f(x) est lim de ln(1+x)/x .
Comme tout l'emporte sur ln j'imagine que c'est 0 mais je ne sais pas comment le demontrer.
C'est qu'avant je m'étais trompé dans le calcul. Je trouve (1,5x^2+x)/x^2(1+x)^2 - ln(1+x)/x^2. c'est bien f'(x)= -g(x)/x^2.
Mais maintenant je ne trouve pas comment faire la limite.
Je sais que lim x-->+infini de 0,5/ (x+1) est 0 donc lim f(x) est lim de ln(1+x)/x .
Comme tout l'emporte sur ln j'imagine que c'est 0 mais je ne sais pas comment le demontrer.
et je ne suis pas sure que la limite soit 0 =S
bonjour
ton raisonnement est le bon, et
lim ln(1+x)/x = 0
x--> +oo
vers infini, la fonction ln croît beaucoup moins vite que x.
je ne pense pas que tu aies à le démontrer, c'est un théorème (sur les croissances comparées de ln et de x ).
peut-être l'as-tu dans ton cours (?)
donc lim f(x) = 0
x--> +oo
bonne journée !
ton raisonnement est le bon, et
lim ln(1+x)/x = 0
x--> +oo
vers infini, la fonction ln croît beaucoup moins vite que x.
je ne pense pas que tu aies à le démontrer, c'est un théorème (sur les croissances comparées de ln et de x ).
peut-être l'as-tu dans ton cours (?)
donc lim f(x) = 0
x--> +oo
bonne journée !
Ce que j'ai dans le cours est lim ln(x)/x = 0, et cela est
x-->+00
demontré, mais cette demonstration ne m'aide pas à demontrer ce que je veux. (En fait c'est avec un changement de variable et avec l'exponentielle)
Alors est-ce que je peux l'admettre à partir de cette limite connue?
x-->+00
demontré, mais cette demonstration ne m'aide pas à demontrer ce que je veux. (En fait c'est avec un changement de variable et avec l'exponentielle)
Alors est-ce que je peux l'admettre à partir de cette limite connue?
tu peux faire : pose x+1 = x * (1 + 1/x)
donc
ln (x+1)
= ln (x*(1 + 1/x))
= ln(x) + ln(1+1/x)
d'où f(x) = ln(x)/x + ln(1+1/x)/x
lim ln(x)/x = 0
+oo
lim ln(1+1/x)/x = lim ln(1)/x = 0
+oo
d'où tu conclus que lim f(x) = 0
donc
ln (x+1)
= ln (x*(1 + 1/x))
= ln(x) + ln(1+1/x)
d'où f(x) = ln(x)/x + ln(1+1/x)/x
lim ln(x)/x = 0
+oo
lim ln(1+1/x)/x = lim ln(1)/x = 0
+oo
d'où tu conclus que lim f(x) = 0
merci beaucoup!
tu n'as plus de questions?
c'est que je n'ai pas encore fais tout l'exercice, il manque de questions, mais je ne les ai pas encore commencées. Je vais les faire pour voir si j'ai des questions
ok
je reviens te voir demain !
bonne fin de journée.
je reviens te voir demain !
bonne fin de journée.
ok merci, bonne fin de journée =)
Ils ont besoin d'aide !
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exo 1 ok
je rajouterai seulement, pour le signe de g(x),
que g(0) = 0, et comme g est croissante, alors g(x)>=0
exo2
3) quelle dérivée as-tu trouvée pour f ?