Mathematiques spé congruence

Bonsoir

X est pair => il existe a tell que X  = 2a

X² = (2a)² = 4a² 

X est impaire => il existe a  telle que X = 2a+1

X² = ( 2a+1)² = 4a²+1+4a

Bonsoir,

Je ne vais pas revenir sur ce qu'a écrit David, il a bien géré le truc (si ce n'est qu'il manque une étape de factorisation pour obtenir un résultat clair).

Je tiens jute à ajouter un point de méthode (car l'arithmétique est particulièrement difficile à assimiler en terminale, les matrices seront plus simples). En arithmétique, dès que tu devras faire une démonstration qui dissocie nombres pairs et nombres impairs, tu devras poser n=2k (si n pair) ou n=2k+1 (si impair).

Par exemple, je te propose la démonstration de la proposition suivante (qui n'est pas celle que tu dois faire ; mais premièrement, peut-être pourras-tu mieux comprendre ce qu'on attend de toi en arithmétique, et ensuite, car il s'agit du type de démonstrations qu'on doit savoir faire en Tle S spé maths) :

"La somme de deux entiers relatifs de même parité est paire"

Soit n et m deux entiers relatifs.

Montrons que la somme de n et m est pair s'ils sont de même parité par disjonction de cas.

Si n+m est pair, alors il existe q entier relatif tel que n+m=2q

CAS 1 : n et m tous deux pairs.

Alors, il existe deux entiers relatifs k et k' tels que n=2k et m=2k'.

On a donc n+m=2k+2k'

ie n+m=2(k+k')

En posant q=k+k', on obtient n+m=2q.

D'où la somme de deux entiers pairs est paire.

CAS 2 : n et m tous deux impairs.

Alors il existe deux entiers relatifs a et a' tels que n=2a+1 et m=2a'+1.

On a donc n+m=2a+1+2a'+1

Ainsi n+m=2a+2a'+2

Donc n+m=2(a+a'+1)

En posant q=a+a'+1, on a bien n+m=2q.

D'où n+m pair si n et m sont impairs.

CONCLUSION :

On trouve un résultat pair peu importe la parité des deux nombres qu'on additionne pourvu qu'elle soit commune.

Donc, quels que soient n et m entiers relatifs, si n et m sont de même parité, alors leur somme est paire.

(Tu peux pour t'entraîner montrer que la somme de deux nombres de parité différente est impaire)

Tu vois, il est très difficile (je n'oserais pas dire que c'est impossible, puisque je ne pense pas avoir suffisamment d'outils mathématiques pour le déterminer ; je le crois, toutefois) de démontrer de telles propriétés sans poser n=2k (pair) ou n=2k+1 (impair). C'est un réflexe à avoir en arithmétique ! Mais ne t'en fais pas, tu as le temps de maîtriser ce chapitre, j'ai moi-même eu beaucoup de mal à comprendre les exercices d'arithmétique qu'on résolvait en cours (car il s'agit d'une partie des mathématiques qui nécessite un peu plus de réflexion que le tronc commun, qui consiste en l'application bête et méchante de formules et de méthodes).

Enfin, un petit détail : ton statut parle de congruence. Est-ce un abus de langage ou une véritable incompréhension de ce qu'est la congruence ? Parce qu'il faudra faire attention dans tes copies !

Cordialement.

hypothèse = n² pair

on démontre que si n impair alors n² impair

on en déduit que n² pair ne peut pas être le carré d'un nb n impair ,c'est donc forcément le carré d'un nb n pair

mm raisonnement à partir de n² impair

Merci a vous, j'ai compris ce que je devais faire ou du moins je pense

si x est impair alors x est de la forme x =2k+1 ou k est un entier relatif alors x^2 s'ecrit (2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2K'+1 ou K'=2k^2+2k donc x^2 est de la forme 2K'+1 donc x^2 est impair

mais je pars dans ma demonstration de x et pas de x^2 je dois faire comment du coup?