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Sujet du devoir
Bonjour ! Voici un des exercices d emon dm que je n'arrive pas à résoudre
On considère ke nombre complxe u=e^(i2pi/7)
1)
a. Calculer u^7 et démontrer que E=1+u+u^2+u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 0
b. Calculer le produit P= u * u^2 * u^3 * ... * u^6
2) On pse S= u + u^2 + u^4 et T= u^3 + u^5 + u^6
a. Donner la valeur de S+T et calculer S*T
b. Démontrer que la partie imaginaire de S est positive
c. En déduire les valeurs exactes de S et T
Où j'en suis dans mon devoir
1)
a. ue^7=0, mais je n'arrive pas à démontrer la suite de la question
b. J'ai trouvé que P=1
2)
a. S+T = u+u2+u3+u4+u5+u6, on reconnaît une suite géométrique de raison et de premier terme u, donc E=u* (1-u7)/(1-u) =u(1-0)/(1-u)= u/(1-u) et à partir de là je dois simplement remplacer u par sa valeur ?
ST = (u+u2+u4)(u3+u5+u6) = u4+u6+u7+u5+u7+u8+u7+u9+u10
= u4+u5+u6+3u7+u8+u9+u10 et je ne sais plus comment avancer
b. Pour démontrer que la partie réelle de S est positive je dois prouver que l'argument de S est égal compris entre -pi/2 et pi/2 mais je ne sais pas comment m'y prendre
c. ?
Merci d'avance pour votre aide !
1 commentaire pour ce devoir
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Bonjour,
1.a) Il faut remplacer u par son expression puis remplacer les expressions telles que e^i8*pi/7 = e^-i6pi/7, tu vas tomber sur E = 1 + 2 cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) puis après t'a la formule qui permet de montrer que cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2 sur https://www.enotes.com/homework-help/show-cos-2pie-7-cos-4pie-7-cos6pie-7-1-2-344724
b) P = 1 si tu remplace correctement les différentes puissance de u comme je l'ai fait pour la question 1)
2a) S + T = -1 en utilisant ce que l'on a prouvé dans la question 1.a) E=1+u+u^2+u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 0 ce qui implique que u+u^2+u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = - 1
SxT = u4+u5+u6+3u7+u8+u9+u10 = -3 + 2cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = -4 d'après ce que l'on a démontré dans la question 1)a)
2.b) Il faut démontrer que sin(2pi/7) + sin(4pi/7) + sin(8pi/7) > 0 (à la calculatrice tu le démontre)
2.c) Alors je ne comprend on a trouvées leurs valeurs dans les questions précèdentes.
Bon courage (C'est assez compliquez pour un devoir niveau Terminale)