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Sujet du devoir
Bonjour,
J'aimerai avoir votre aide pour mon exercice de maths.
Sujet :
On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en milieu liquide non renouvelé. On admet que l'expression f(t) = 22 * t2 + 33t + 400 pour t appartenant à l'intervalle [ 0 ; 11 ] donne le nombre de bactéries présentes dans cette culture en fonction du temps t exprimé en heures.
La fonction f est représentée graphiquement ci-dessous par la courbe C.
Questions :
1. Calculer le nombre de bactéries présentes dans le liquide au bout de 5 heures 30 minutes (arrondir le résultat à la dizaine la plus proche).
2. En utilisant le graphique de la feuille annexe, que l'on rendra avec le devoir, déterminer au bout de combien de temps, le nombre de bactéries aura doublé (on laissera les traits de construction nécessaires).
3. On définit la vitesse instantanée d'apparition des bactéries comme la dérivée de la fonction f. Cette vitesse est exprimée en nombre de bactéries par heure.
a. D'après le graphique, cette vitesse semble-t-elle augmenter ou diminuer au cours du temps (justifier votre réponse) ?
b. Donner la vitesse instantanée en fonction du temps. Que vaut-elle au bout de 4 h ? Au bout de 8 h ?
4. Tracer sur une nouvelle figure la représentation graphique de la vitesse avec les unités suivantes : 1 cm représente une heure en abscisses et 1 cm représente 100 bactéries par heure en ordonnée.
Image concernant mon devoir de Mathématiques
Où j'en suis dans mon devoir
1.
5 heures 30 est égale à 5,5.
f(t) = 22t² + 33t + 400
f(5,5) = 22 * 5,5² + 33*5,5 + 400
f(5,5) = 1 247
Le nombre de bactéries présentes dans le liquide au bout de 5 heures 30 minutes est 1 250.
2.
Je ne comprends pas vraiment comment déterminer ça ? Mise à part qu'au départ le nombre de bactéries était 400 alors le double est 800, mais j'imagine que c'est plus compliqué que ça ?
3.
a. On voit que la courbe monte plus en hauteur et moins sur la droite.
Au point O (0;400);
¼ = 0,25
Le coefficient directeur est environ 0,25.
Pour le point (9;2400)
2/2 = 1
Le coefficient directeur est environ 1.
Le coefficient directeur augmente donc la vitesse augmente.
b.
La vitesse instantanée en fonction du temps est la suivante : f '(x) = mt+p
On trace la tangente de la courbe C aux points d'abscisses 4 et 8.
f '(4) = 0,5
Le nombre dérivé est environ 0,5 au point d'abscisse 8 de la courbe C.
f '(8) = 1
Le nombre dérivé est environ 1 au point d'abscisse 8 de la courbe C.
Je ne suis pas vraiment sûre que c'est ce qu'ils demandaient mais je ne sais pas quoi faire d'autre.
4.
Cette question doit se faire en fonction de la réponse que je trouve en question 3 ?
Merci d'avance pour votre aide !
6 commentaires pour ce devoir
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Pour la question 1, je suis d'accord avec le calcul et il semble plausible graphiquement.
Q2 : c'est une constatation graphique. Le nombre de bactéries double quand y = 800. Trace donc la droite y = 800 et l'abscisse du point d'intersection sera la date ou le nombre aura doublé.
Q3a : Bonne remarque, il vaut mieux parler de coefficients directeurs que de "monte plus en hauteur et moins à droite".
Q3b : On ne sait pas d'ou viennent m et p sur f'(x) = mt+p. Il faudrait que tu calcules la dérivée de f(t) = 22 * t2 + 33t + 400 (l'as tu apprise ?). Tes calculs de tangente sont bons, mais il faut alors les ramener en bactérie par heure (les multiplier par 400 en gros). Avec mon calcul de la dérivée je trouve des nombres proches des tiens (respectivement 0.5225 et 0.9625 au lieu de 0.5 et 1)
Q4 : Effectivement, tu dois tracer la courbe de f' que tu as trouvé à la question précédente
Tu as presque tout bon, reste à savoir si tu sais comment dériver un polynôme du deuxième degré ?
Juste une petite question en passant, comment trouves-tu f'(4)=0.5225 et f'(8)=0.9625?
Je n'ai pas précisément écrit f'(4)=0.5225 , j'ai dit que le coefficient directeur que je trouvais pour 4 vaudrait 0.5225 si je le ramène au calcul de tangente que Rump a fait. C'est seulement pour comparer avec ses calculs et confirmer qu'ils sont pertinents.
Cela dit il est possible que le calcul de Rump soit jugé faux car le repère n'est pas orthonormé (il y a un facteur 400)
Ca te semble plus clair ?
Merci beaucoup pour ta réponse !
Alors du coup pour la 3b, la dérivée c'est f'(t) = 44t + 33 ?
Comment on calcule pour 4 et 8 ?
Je ne comprends pas quand tu dis qu'il faut multiplier par 400 ? C'est parce qu'il faut prendre en compte que le nombre de bactéries à la base était de 400 ? Mais pourquoi multiplier et où ?
Désolé pour le délai de réponse. La dérivée est bien 44t+33
Pour calculer f'(4), c'est simplement 44 * 4 + 33 = 209 (après 4h, la vitesse de croissance est autour de 200 par heure). Même chose pour f'(8) = 385
Le facteur 400 vient du fait que le repère donne 1h = 1 cm et 400 bactéries = 1cm, donc tout calcul de coefficient directeur doit être ramené au coefficient 400. Graphiquement si tu avances d'un carreau (une demi heure) et que tu 'monte' d'un carreau (200 bactéries), ton coefficient serait 1 mais ta vitesse serait 200 bactérie/heure. Tu comprends ?
D'ailleurs, c'est tout l'objet de la question 4 : le ratio t / y va changer à 100 au lieu de 400.
Désolée de pas avoir répondu, je devais me dépêcher de finir ce devoir. J'ai eu une bonne note
Merci beaucoup pour ton aide !