probabilité

Sujet du devoir

Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules : 75% de particules A et 25% de particules B.
Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments KI et K2.
L’expérience est modélisée de la façon suivante :
– une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité 1/3 et dans K2 avec la probabilité 2/3
– une particule au hasard parmi les particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la probabilité 1/2.
Partie A
1. Soit une particule au hasard.
Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A1 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 »,
A2 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 »,
B1 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 »,
B2 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 »,
C1 : « la particule entre dans K1 »,
C2 : « la particule entre dans K2 ».
2. On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l’épreuve décrite en
introduction.
Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions
75% et 25% restent constantes.
Calculer la probabilité de l’évènement E suivant : « il y a exactement deux particules dans K2 ».

Partie B
Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A sont radioactives et se transforment spontanément en particules B; chaque particule A donne en se transformant une particule B.
On note p(t ) la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l’instant t = 0, on a p(0)= 0,75.
Plus généralement, si t est exprimé en années, on a p(t) = 0,75e^−λt
, où λ est une
constante réelle.
La demi-vie^1 des particules de type A est égale à 5 730 ans.
1. Calculer λ; on prendra une valeur approchée décimale à 10^−5 près par défaut

Où j'en suis dans mon devoir

1. p(A1) = p(A∩K1) = pA(K1)×p(A) = 1/4
p(A2) = p(A∩K2) = pA(K2)×p(A) = 1/2
p(B1) = p(B∩K1) = pB(K1)×p(B) =1/8
p(B2) = p(B∩K2) = pB(K2)×p(B) = 1/8
p(C1) = p[(A∩K1)∪(B∩K1)] = 3/8
p(C2) = p[(A∩K2)∪(B∩K2)] = 5/8

2. expérience de Bernoulli avec n = 5 et p = 5/8
p(E) ≈ 0,206.

PARTIE B :
1. je n'y arrive pas, je sais qu'il faut chercher p(t) en premier mais je n'sais pas comment