Probabilités et suites

Sujet du devoir

On considère deux urnes U1 et U2 :
L’urne U1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L’urne U2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U1,on note sa couleur et on la remet dans U1.

Étape n (n ≥ 2) :
• Si la boule tirée à l’étape (n −1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U1,on note sa couleur et on la remet dans U1
• Si la boule tirée à l’étape (n − 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U2,on note sa couleur et on la remet dans U2.

On note A l’événement « le tirage a lieu dans l’urne U1 à l’étape n » et pn sa probabilité.
On a donc p1= 1.

1. Calculer p2.
2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul,
pn+1= 0,8 pn + 0,05. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
3. Calculer p3.
4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, pn > 0,25.
b. Démontrer que la suite ( pn ) est décroissante.
c. En déduire que la suite ( pn ) est convergente vers un réel noté l
d. Justifier que l vérifie l’équation : l = 0,8 l + 0,05. En déduire la valeur de l.

Où j'en suis dans mon devoir

J'aurais juste besoin de l'arbre à faire car je ne vois pas comment il est.
merci ^^