Prouver qu'une suite est vraie par récurrence

Sujet du devoir

Bonjour tout le monde ! Voilà, j'ai un exercice sur la récurrence. Au début tout va bien, mais arrivé à un certain endroit dans mon équation, je n'arrive pas à la modifier pour réussir à trouver le résultat attendu...

Voilà mon énoncé :

On définit la suite d'entiers (Xn) par X0 = 0 ; X1 = 5 et pour tout n appartenant à N (entiers naturels), X(n+2) = 9(Xn+1) + 7Xn.

Montrer que pour tout n appartenant à N (entiers naturels), on a Xn = 7^n - 2^n.

Où j'en suis dans mon devoir

Voilà ce que j'ai réussi à faire pour l'instant :

Initialisation : Pour n = 0, on a 7^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0 = X0

Donc P0 est vraie.

Hérédité : Soit n appartenant à N (entiers naturels), on suppose que pour tout k appartenant à [0;n], on a Xk = 7^k - 2^k. Montrons que P(n+1) est vraie.

On a X(n+2) = 9(Xn+1) + 7Xn

=> X(n+1) = 9Xn + 7X(n-1)

=> X(n+1) = 9 x (7^n - 2^n) + 7 x (7^(n-1) - 2^(n-1))

=> X(n+1) = 9 x 7^n - 9 x 2^n + 7^n - 7 x 2^(n-1)

Et à partir de là, je sais pas du tout... J'ai tout essayé, isoler 9, isoler 7... Je n'arrive pas à trouver le résultat attendu, c'est-à-dire X(n+1) = 7^(n+1) - 2^(n+1).

Je tiens à préciser que je ne suis pas en Terminale, mais en première année de MPSI, mais comme l'exercice a l'air d'être du niveau TS, j'ai posté ici... Je n'ai jamais été très douée avec les récurrences à vrai dire.

Quoi qu'il en soit, merci de m'aider !