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Sujet du devoir
T(n)=1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n^2*(n+1)^2]/4 raisonner par récurrence c'est la consigne ...Où j'en suis dans mon devoir
la consigne est résonner par récurrence je ne comprends pas trop ... >< merci d'avance pour votre aide7 commentaires pour ce devoir
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Bonjour,
Je conteste les étapes proposées par Bouky. Le raisonnement par récurrence apeure beaucoup d’élèves alors qu’il s’agit simplement d’acquérir la bonne méthode, notamment d'appliquer au fur et à mesure les étapes suivantes :
1- tout d’abord montrer que la proposition est initialisée au rang n = 0 (ou 1...), c’est-à-dire montrer que P(0) est vraie
2- ensuite montrer que la proposition est héréditaire, c’est-à-dire supposer P(n) vraie et montrer alors que P(n+1) est vraie
3- conclure que P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 0 (ou 1... selon le premier rang établi à l’étape 1)
Application :
Soit la proposition T(n) = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n^2 * (n+1)^2] / 4
1-
D'une part, T(0) = 0^3 = 0
D'autre part, (0^2*(0+1)^2) / 4 = 0 = T(0)
Donc T(0) est vraie ; c'est-à-dire que la proposition T(n) est initialisée au rang 0.
2-
Supposons T(n) vraie.
Vérifions alors que T(n+1) est vraie pour tout entier naturel n.
T(n+1) = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3
= [n^2 * (n+1)^2] / 4 + (n+1)^3 (on ne fait que remplacer 1^3 + 2^3 + ... + n^3 par son expression équivalente)
= [n^2 * (n+1)^2] / 4 + 4*(n+1)^3 / 4 (on met sous le même dénominateur)
>>> on factorise ensuite par (n+1)² >>> on aboutit à (n+1)²(n²+4n+4) / 4
>>> identité remarquable dans n²+4n+4 >>> on aboutit à (n+1)²(n+2)² / 4 (cette expression corrspond bien à ce qu'on cherchait puisqu'on a bien monté tout d'un rang : n est devenu n+1 et n+1 est devenu n+2)
Donc, en supposant T(n) vraie, la proposition T(n+1) est vraie. Ainsi T(n) est héréditaire.
3-
Comme T(n) est initalisée au rang 0 et héréditaire, T(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Merci de me préciser si tu as bien compris désormais.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Je conteste les étapes proposées par Bouky. Le raisonnement par récurrence apeure beaucoup d’élèves alors qu’il s’agit simplement d’acquérir la bonne méthode, notamment d'appliquer au fur et à mesure les étapes suivantes :
1- tout d’abord montrer que la proposition est initialisée au rang n = 0 (ou 1...), c’est-à-dire montrer que P(0) est vraie
2- ensuite montrer que la proposition est héréditaire, c’est-à-dire supposer P(n) vraie et montrer alors que P(n+1) est vraie
3- conclure que P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 0 (ou 1... selon le premier rang établi à l’étape 1)
Application :
Soit la proposition T(n) = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n^2 * (n+1)^2] / 4
1-
D'une part, T(0) = 0^3 = 0
D'autre part, (0^2*(0+1)^2) / 4 = 0 = T(0)
Donc T(0) est vraie ; c'est-à-dire que la proposition T(n) est initialisée au rang 0.
2-
Supposons T(n) vraie.
Vérifions alors que T(n+1) est vraie pour tout entier naturel n.
T(n+1) = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3
= [n^2 * (n+1)^2] / 4 + (n+1)^3 (on ne fait que remplacer 1^3 + 2^3 + ... + n^3 par son expression équivalente)
= [n^2 * (n+1)^2] / 4 + 4*(n+1)^3 / 4 (on met sous le même dénominateur)
>>> on factorise ensuite par (n+1)² >>> on aboutit à (n+1)²(n²+4n+4) / 4
>>> identité remarquable dans n²+4n+4 >>> on aboutit à (n+1)²(n+2)² / 4 (cette expression corrspond bien à ce qu'on cherchait puisqu'on a bien monté tout d'un rang : n est devenu n+1 et n+1 est devenu n+2)
Donc, en supposant T(n) vraie, la proposition T(n+1) est vraie. Ainsi T(n) est héréditaire.
3-
Comme T(n) est initalisée au rang 0 et héréditaire, T(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Merci de me préciser si tu as bien compris désormais.
Niceteaching, prof de maths à Nice
mercii beaucoup , en faite le prof a posé juste l'équation au tableau donc je n'avais pas trés bien compris mais dés lors ou vous avez expliqué la premiere étape j'ai compris merci enormement =)
Eh bien tant mieux si tu as compris. Bonne continuation et peut-être à bientôt.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Niceteaching, prof de maths à Nice
niceteaching, je ne vois pas pourquoi tu contestes mes étapes et que tu redonnes les mêmes...
passons.
passons.
le théoreme de raisonnement avec reccurence se base sur Vendredi- Samedi-Dimanche
c'est à dire ;
==>le V pour dire ;Vérifier la propriété mis en jeu pour le premier ordre (pour n=n0),
==>le S pour dire; Supposons que la propriété Pn est vraie pour l'ordre n,(une simple phrase consiste à dire on suppose ce qu'on veut démontrer déjà démontré et vrai)
==>enfin le D pour dire ;Démontrons que cette propriété reste vraie pour l'ordre n+1, Pn+1 reste vraie
d'après ces trois passages on conclut que Pn est vraie pour tout n
le déroulement est déjà bien expliqué par;
bouky et niceteaching.,
a bientot.
c'est à dire ;
==>le V pour dire ;Vérifier la propriété mis en jeu pour le premier ordre (pour n=n0),
==>le S pour dire; Supposons que la propriété Pn est vraie pour l'ordre n,(une simple phrase consiste à dire on suppose ce qu'on veut démontrer déjà démontré et vrai)
==>enfin le D pour dire ;Démontrons que cette propriété reste vraie pour l'ordre n+1, Pn+1 reste vraie
d'après ces trois passages on conclut que Pn est vraie pour tout n
le déroulement est déjà bien expliqué par;
bouky et niceteaching.,
a bientot.
Bouky,
Je conteste tes étapes car elles ne sont pas ordonnées. En premier lieu, il s'agit de l'initialisation. PUIS vient l'étape de l'hérédité ; enfin, celle de la conclusion.
Or, tu as inversé les 2 premières et, dans la notation, certains profs (dont moi) pénalisons une telle inversion. En effet, il convient tout d'abord de montrer que la propriété est vrai à partir d'un certain rang avant de l'envisager vraie à partir du rang n.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Je conteste tes étapes car elles ne sont pas ordonnées. En premier lieu, il s'agit de l'initialisation. PUIS vient l'étape de l'hérédité ; enfin, celle de la conclusion.
Or, tu as inversé les 2 premières et, dans la notation, certains profs (dont moi) pénalisons une telle inversion. En effet, il convient tout d'abord de montrer que la propriété est vrai à partir d'un certain rang avant de l'envisager vraie à partir du rang n.
Niceteaching, prof de maths à Nice
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je te faire le schéma que tu dois suivre
hpothèse la proprieté est vrai au rang n donc T(n) = Sommme (i^3) = [n^2*(n+1)^2]/4
tu dois ensuite montre qu'elle est vrai au rang n+1 soit T(n+1) =..
tu devras surement utiliser ton hypothese de départ et le fait que T(n+1) = T(n)+(n+1)^3. p-e, je ne sais pas trop, a toi de voir.
En suite tu dois montrer la propiété au rang n=0 ou n=1 (suivant ton ennoncé, que tu ne nous a pas donné, j'imagine que c'est rang 1)
T(1) = 1^3=1
(1^2*(1+1)^2)/4=1
donc par récurrence tu as demontrer la propiété