- Partage ce devoir avec tes amis !
Sujet du devoir
a. Démontrer par récurrence que pour tt n>= 2, (3/2)^n >= nb. Déterminer la limite n/2^n lorsque n tend vers + l'infini
Où j'en suis dans mon devoir
Pour la question a, mon initialisation est vérifiée, (3/2)^2 >= 2. C'est lors de la seconde étape que je bloque.Pour la question b, je trouve que la limite est une forme indéterminée et je ne sais comment factoriser par le plus haut terme.
Merci d'avance.
4 commentaires pour ce devoir
salut
a)
bien, soit Pn: la propriété suivante,pour tt n>= 2, (3/2)^n >= n
==> P2 est vérifiée
==> supposons que Pn est vraie
==> démontrons que Pn+1 reste vraie
avec Pn+1==>(3/2)^(n+1) >= n+1,
on sait que n>=2<==>(1/2)n>=1 <==> n+(1/2)n>=1+n <==> (3/2)n>=1+n (ce résultat va être utilisé par la suite)
or on a Pn est vraie, c'est à dire; (3/2)^n >= n, multiplions par (3/2) les deux membres de l'inéquation elle devient:(3/2)^(n+1) >= (3/2)n qui est déjà >=n+1
==>Pn+1 est vraie
===> Pn est vraie quelque soit n>=2
b)je vais prendre un temps de réflexion pour voir la liaison et je te rappelle
a)
bien, soit Pn: la propriété suivante,pour tt n>= 2, (3/2)^n >= n
==> P2 est vérifiée
==> supposons que Pn est vraie
==> démontrons que Pn+1 reste vraie
avec Pn+1==>(3/2)^(n+1) >= n+1,
on sait que n>=2<==>(1/2)n>=1 <==> n+(1/2)n>=1+n <==> (3/2)n>=1+n (ce résultat va être utilisé par la suite)
or on a Pn est vraie, c'est à dire; (3/2)^n >= n, multiplions par (3/2) les deux membres de l'inéquation elle devient:(3/2)^(n+1) >= (3/2)n qui est déjà >=n+1
==>Pn+1 est vraie
===> Pn est vraie quelque soit n>=2
b)je vais prendre un temps de réflexion pour voir la liaison et je te rappelle
reprenons le b)
tu as cet encadrement; 2<= n <= (3/2)^n
divisons tout par 2^n
on obtient;
2/2^n <= n/2^n <= (3^n/2^(2n)),
un peu d'ordre donne
1/2^(n-1)<= n/2^n <=(3/4)^n
( en utilisant 2^(2n)=(2^2)^n=4^n)
limi de 1/2^(n-1) en + l'inf=limi de(3/4)^n en + l'inf=0
(car lim a^n en + l'inf = 0 si (a) réel appartenant à ]-1;1[)
donc la lim de n/2^n pour n tend vers + l'inf=0
a+
tu as cet encadrement; 2<= n <= (3/2)^n
divisons tout par 2^n
on obtient;
2/2^n <= n/2^n <= (3^n/2^(2n)),
un peu d'ordre donne
1/2^(n-1)<= n/2^n <=(3/4)^n
( en utilisant 2^(2n)=(2^2)^n=4^n)
limi de 1/2^(n-1) en + l'inf=limi de(3/4)^n en + l'inf=0
(car lim a^n en + l'inf = 0 si (a) réel appartenant à ]-1;1[)
donc la lim de n/2^n pour n tend vers + l'inf=0
a+
Merci beaucoup pour ta réponse. Tout est clair dans ma tête maintenant ;) A bientot
Ils ont besoin d'aide !
- Aucun devoir trouvé, poste ton devoir maintenant.
je pense a va!
(3/2)^(n+1) = (3/2)*(3/2)^n >=3/2 (n)
si n>=2 donc 3/2*n =n+n/2 > n+1
voila