Relations Métriques dans le triangle

Publié le 5 mars 2019 il y a 13 jours par 01020304 - Fin › 11 mars 2019 dans 7 jours
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Sujet du devoir

Bonjour, j’ai un devoir de maths que je n’arrive pas à résoudre. Voici l’énoncé:

 

On considère trois points A, B et C quelconques du plan complexe d’affixes respectives zA, zB et zC. Soit:

 

z1 = zB - zA = r1e^i thêta1

z2 = zC - zB = r2e^i thêta2

z3 = zC - zA = r3e^i thêta3

 

1. Interpréter géométriquement r1, r2 et r3 ainsi que thêta1, thêta2 et thêta3.

2. a) Montrer que z1 = z3 - z2

2. b) En utilisant r1^2 = z1(z1)conjugué, montrer que:

r1^2 = r2^2 + r3^2 - (z2z3conjugué + z3z2conjugué)

2. c) Exprimer z2conjugué en fonction de r2 et thêta2.

2. d) Que vaut e^i thêta - e^-i thêta ?

2. e) Montrer que r1^2 = r2^2 + r3^2 - 2r2r3cos (thêta3 - thêta2).

2. f) En déduire que (r2 - r3)^2 est inférieur ou égal à r1^2 qui est inférieur ou égal à (r2 + r3)^2, puis que valeur absolue de r2 - r3 est inférieur ou égal à r1 qui est inférieur ou égal à r2+r3.

2. g) Interpréter géométriquement cette inégalité. Quelle propriété fondamentale a-t-on redémontrée?

3. a) Interpreter géométriquement l’angle thêta3 - thêta2.

3. b) Traduire géométriquement le résultat de la question 2. e)

3. c) Quelle célèbre propriété a-t-on redémontrée?

 

Où j'en suis dans mon devoir

Bon, pour le moment je suis à la question 2. b) que je n’arrive pas à résoudre. Pouvez-vous me donner quelques pistes? Merci beaucoup 




1 commentaire pour ce devoir


p.pouletaut
p.pouletaut
Posté le 7 mars 2019

Pour le 2.b :

r1^2 = z1(z1)conjugué = (z3 - z2) x (z3conjugué - z2conjugué) = z3 z3conjugué - z3 z2conjugué - z2 z3conjugué + z2 z2conjugué

Pour le 2.e, utilise la relation :

z2z3conjugué + z3z2conjugué = r2r3 e^i (thêta2 - thêta3) + r2r3 e^i (thêta3 - thêta2)

Pour le 2.f, prend en compte que le cosinus est toujours inférieur à 1 :

cos <= 1 => r1^2 >= r2^2 + r3^2 - 2r2r3


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