Restitution organisée de connaissance(s) (sur les exponentielles)

Sujet du devoir

Démontrer la propriété suivante :

Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(x+y) = f(x)*f(y) et f'(0) = 1
alors f est la fonction exponentielle

Indication : Démontrer que la fonction f n'est pas nulle
Déduire que f(0)=1
En considérant la fonction g(x) = f(x+y) = f(x)*f(y),
calculer g'(x) et déduire que f'(y) = f(y), quelque soit y réel.
Conclure avec l'aide de la définition de l'exponentielle.

Où j'en suis dans mon devoir

Si on arrive à dire que f(0) =1 alors
f' = f avec f(o) = 1
Donc f ne s'annule pas

Mais est-ce qu'on doit écrire une autre fonction pour rédiger et démontrer la propriété?

Pouvez vous m'orienter pour faire ce ROC? Merci