Spécialité Maths: Chiffrement affine

Sujet du devoir

Bonjour, voici le sujet d'un DM que je dois faire en Spécialité maths

Exercice 1 : Un exemple de chiffrement affine
La lettre associée à l’entier x est codée par la lettre associée à f(x), reste de la division
euclidienne de 21x + 11 par 26.
1. Coder le mot RIGOLO.
2. Soit x et x′, des entiers compris (au sens large) entre 0 et 25, tels que f(x) ≡ f(x′)[26].
(a) Montrer que 21(x − x′) = 26k où k ∈ Z.
(b) En déduire que x ≡ x′[26] puis que x = x′.
3. (a) Déterminer un couple d’entiers (u, v) tel que 21u + 26v = 1
(b) En déduire la fonction de décodage (à partir de la congruence f(x) ≡ 21x +
11[26], trouver x ≡ . . . [26])
4. Décoder le mot GLB.

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai fait le 1. J'ai obtenu EXHTIT. Le 2a) J'ai dit que f(x)≡f(x')[26] donc qu'ils ont le même reste dans la division par 26( Je ne sais pas si ça suffit comme justification). Ensuite j'ai pu écrire que 21x+11≡21x'+11[26]. D'où 21x+11-(21x'+11)=26k avec k∈ Z. Ainsi 21(x-x')=26k. Mais après pour le b), je suis coincé. Il me semble que la division est inderdite dans les congruences donc on ne peut pas passer de 21x ≡21x'[26] à directement x ≡x'[26]. Pour x=x', j'ai ma petite idée comme quoi comme il s'agit du reste dans la division par 26 que l'on fasse plus ou moins 26, on retombe sur le même chiffre (si l'on considère x=x'+26 k. )