Suites convergentes (avec application géométrique)

Sujet du devoir

Bonjour, voilà mon exercice :

Ennoncé :

Soit a et b les suites definies sur N par a0=2 et b0 = 4 et pour tout entier naturel n :

| a{n+1} = 1/4 * (a{n} + 3b{n})
|
| b{n+1} = 1/4 * ( 3 a{n} + b{n}

D est une droite munie d'un repère (O;i) et pour tout entier naturel n , An et Bn sont les point de D d'abscissice respective a{n} et b{n}


Question :

1°) Placer les point A0 , A1 ; A2 ,B0 , B1 ,B2 sur D

2°) u est la suite définie sur N par u{n} = a{n} + b{n} . Démontrer que la suite u est constante . En deduire que pour tout en tier naturel n les segment [AnBn] et [An+1Bn+1] ont le meme milieu I dont on donnera l'abscisse.

3°) v est la suite définie sur N par v{n} = a{n} - b{n}

a) Démontrer que v est une suite geometrique qui converge. Que peut-on en déduire pour la distance AnBn lorsque n tend vers +oo ?

b) Exprimer v{n} en fonction de n. Démontrer que les suites a et b sont convergentes et qu'elles ont la même limite.

Où j'en suis dans mon devoir

1°) On obtient A0 < B1 < A2 < B2 < A1 < B0 (les termes se rapprochants de 3)

2°) u{n} = u{n+1} (en remplaçant u{n+1} par les deux autres suites je retrouve u{n}) donc (u) est constante.
Pour l'histoire des milieux, je ne vois pas trop comment faire...
Je sais que l'abscisse de I est 3.

3°) a) v{n+1} = v{n} * (-1/2) donc comme la raison de (v) est comprise strictement entre -1 et 1 v{n} converge.
v{n} = a{n} - b{n} donc si v{n} tend vers 0, la distance AnBn tend vers 0 (en +oo).

b) Je trouve que v{n} = (-1/2)^(n-1)
Les suites a et b sont convergentes car leur raison est comprise entre -1 et 1 strictement.
Je ne vois pas comment montrer qu'elles ont la même limite.

Merci d'avance,

Jean.