Suites et convergence

Sujet du devoir

Pour tout n de N : Pn(x)=1+x+...+x^(n-1)+x^(n)
et Qn(x)=Pn(x)+x^(n)

1) montrer que si x appartient à [0;(1/2)[, les deux suites sont adjacentes.
2) étudier la convergence de la suite (Pn(x))si x appartient à [0;1[ , puis si x appartient à [1;+inf[
3) calculer Pn'(x) pour x appartient à [0;+inf[.
4) montrer qu'en +infini lim nx^(n)=0 pour x appartient à [0;1[.
5) étudier la convergence de la suite (Pn'(x)), pour x: [0;+inf[.

Où j'en suis dans mon devoir

Pour l'instant j'ai juste réussi à calculer Pn'(x)
j'ai trouvé Pn'(x)= 1+...+ (n-1)x^(n-2) + nx(n-1) + (n-1)x^(n).

Pour la (1),j'ai calculé P_(n+1)(x)-P_(n) et pareil pour Q mais je trouve que les deux suites sont croissantes... j'ai P(n+1)-P(n)=x^(n+1)
et Q(n+1)-Q(n)= 2x^(n+1)-x^(n)

merci de m'aider et bonne journée à tous.