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Sujet du devoir
Bonjour, étant donnée que j'ai de grosse lacunes en Mathématique et qu'il met difficile de les comblés avec ma prof je met cet exo que je ne comprend vraiment pas . Dès le début je tombe sur une suite arithmétique au lieu d'une suite géométrique .. Pouvez vous m'aider S'il vous plait je poste l'énoncé ci-dessous :1. a est un nombre réel. On considère la suite (Un) de nombres réels définie pour tout entier n> ou égale à 1, par la relation de récurrence:
U(n+1)= 1/10-3/10Un et par la condition initiale u1=a.
a) (Vn) est la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n> ou égale à 1 , par :
Vn = 13Un-4
Démontrez que (Vn) est une suite géométrique et déterminez sa raison k.
Exprimez Vn en fonction de a et de n.
b) Prouvez que, pour tout entier n> ou égale à 1 :
Un= 4/13 + (a-4/13)(-3/10)^n-1.
c) Déterminez la limite de la suite (Un).
2. Un professeur oublie fréquemment les clés de sa classe.
Pour tout entier naturel n> ou égale à 1 , on note En l'évènement " le professeur oublie ses clés le jour n " et /En l'évènement contraire de En.
Pn est la probabilité de En et Qn celle de /En. On pose P1= a, la probabilité qu'il oublie ses clés le premier jour. On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- Si le jour n, il oublie ses clés, la probabilité qu'il les oublie encore le jour suivant n+1 est 1/10.
- Si le jour n, il n'oublie pas ses clés, la probabilité qu'il les oublie le jour suivant n+1 est 4/10.
a)Démontrez que, pour tout entier n> ou égale à 1:
P(n+1) = 1/10Pn+ 4/10Qn
b) Déduisez-en l'expression de P(n+1) en fonction de Pn.
c) A l'aide des résultats de la question 1., donnez l'expression Pn en fonction de a et de n.
La limite p de la suite (Pn) dépend-elle de la condition initiale a?
Où j'en suis dans mon devoir
Je vous met quand meme la suite géométrique que j'ai trouver :V(n+1) = -147/10 - 3/10 Vn
Je pensais autrement faire V(n+1)/Vn mais ça me fais tourner en rond et je ne retombe pas sur une suite géométrique ...
Pouvez m'éclaircir tout cela s'il vous plait
17 commentaires pour ce devoir
Il y a une erreur dans le texte. C'est Un+1 = 4/10-3/10Un et non pas "Un+1 = 1/10-3/10Un". Réessaye avec ça.
J'obtient une suite arithmétique en faisant U(n+1)=4/10-3/10Un
U(n+1)= 4/10-(3/10(Vn+4/13))
=3/10Vn+4/13
C'est pas bon non plus ... Ou alors je sais pas
U(n+1)= 4/10-(3/10(Vn+4/13))
=3/10Vn+4/13
C'est pas bon non plus ... Ou alors je sais pas
Tu ne sais pas plutôt.
car Vn+1= 13Un+1-4 = 13(4/10-3/10Un) -4 = 52/10-39/10Un-4=
12/10-39/10Un=-3/10(13Un-4)=-3/10Vn
Donc Vn est une suite géométrique de raison -3/10
car Vn+1= 13Un+1-4 = 13(4/10-3/10Un) -4 = 52/10-39/10Un-4=
12/10-39/10Un=-3/10(13Un-4)=-3/10Vn
Donc Vn est une suite géométrique de raison -3/10
Et donc en fonction de n et de a ça donne Vn+1= aVn c'est sa ??
Non Un=U0*q^n donc Un=a*(-3/10)^n C'est sa plutot je pense non??
oui c'est presque ça mais tu vois avec les suites géométriques faut toujours se méfier. Essaye sur plusieurs valeurs et déduis-en le résultat:
Vn=(-3/10)Vn-1=(-3/10)(-3/10)Vn-2=(-3/10)²Vn-2
Tu vois donc que c'est puissance 2 quand c'est Vn-2, puissance 3 quand c'est Vn-3, donc la somme de la puissance et du rang, ça fait toujours n: 2+n-2 = n et 3+n-3=n donc pour V1 (attention V0 n'est pas définie, Vn commence à V1), c'est puissance n-1 car 1+n-1=n. Donc Vn=V1*(-3/10)^n-1=a(-3/10)^n-1
Avec les suites, faut toujours faire des essais. J'espère que je n'ai pas été trop confus.
Vn=(-3/10)Vn-1=(-3/10)(-3/10)Vn-2=(-3/10)²Vn-2
Tu vois donc que c'est puissance 2 quand c'est Vn-2, puissance 3 quand c'est Vn-3, donc la somme de la puissance et du rang, ça fait toujours n: 2+n-2 = n et 3+n-3=n donc pour V1 (attention V0 n'est pas définie, Vn commence à V1), c'est puissance n-1 car 1+n-1=n. Donc Vn=V1*(-3/10)^n-1=a(-3/10)^n-1
Avec les suites, faut toujours faire des essais. J'espère que je n'ai pas été trop confus.
POur la question b) je comprend pas d'ou cette formule sors.. je part de quoi ? Comme sa je vais essayer de finir et calculer la limite et je te montrerai ...
Euh oui...à peu près compris ..
Pour la question b) tu sais déjà que Vn=13Un-4 donc Un=1/13Vn+4/13. Avec l'expression de Vn que tu as trouvé avant, tu dois pouvoir t'en sortir.
N'oublie pas que dans un problème toutes les questions s'enchaînent, pense donc toujours à utiliser les résultats des questions précédentes.
N'oublie pas que dans un problème toutes les questions s'enchaînent, pense donc toujours à utiliser les résultats des questions précédentes.
Alors j'ai fais :
Un=1/13Vn+4/13
J'ai remplacer Vn par l'expression trouver avant et ça me donne :
Un= 1/13( a*(-3/10)^n-1)+4/13
Et la je me demandais comment je décompose (-3/10)^n-1 comme sa :
(-3/10)^n*3/10 ? ou (-3/10)^n-3/10 ?
Un=1/13Vn+4/13
J'ai remplacer Vn par l'expression trouver avant et ça me donne :
Un= 1/13( a*(-3/10)^n-1)+4/13
Et la je me demandais comment je décompose (-3/10)^n-1 comme sa :
(-3/10)^n*3/10 ? ou (-3/10)^n-3/10 ?
Alors V1 ne vaut pas a mais 13U1-4 c'est à dire 13a-4 donc
Vn=(13a-4)(-3/10)^n-1
Autant pour moi
Et pour répondre à ta question: (-3/10)^n-1 c'est (-3/10) que tu multiplies n-1 fois donc (-3/10)^n=(-3/10)^n-1 * (-3/10)
Vn=(13a-4)(-3/10)^n-1
Autant pour moi
Et pour répondre à ta question: (-3/10)^n-1 c'est (-3/10) que tu multiplies n-1 fois donc (-3/10)^n=(-3/10)^n-1 * (-3/10)
Ah ok je suis bete des fois ! Donc ça donne :
Un = 1/13(V1*(-3/10)^n-1)+4/13 or V1= 13U1-4 =13a-4
Un= 1/13(13a-4)(-3/10)^n-1+4/13
Un=(a-4/13)(-3/10)^n-1 + 4/13 qui est l'expression recherché c'est ça ?
Un = 1/13(V1*(-3/10)^n-1)+4/13 or V1= 13U1-4 =13a-4
Un= 1/13(13a-4)(-3/10)^n-1+4/13
Un=(a-4/13)(-3/10)^n-1 + 4/13 qui est l'expression recherché c'est ça ?
Super!
Pour la limite j'ai trouvé que Un tendait vers + infini lorque n tend vers + infini c'est correct ?
Ah ben non, fais attention. Une suite géométrique tend vers l'infini si sa raison est >1 et vers 0 si sa raison est <1 donc ici, tu vas avoir tout un bloc qui va tendre vers 0
Donc (a-4/13) tend vers -4/13 car a tend vers 0 vu que que sa raison est < 1 c'est sa ?
a est un nombre donc il ne tend vers rien à part vers lui-même.
Dans Un, tu as tout le bloc (a-4/13)(-3/10)^n-1 qui tend vers zéro car (-3/10)^n-1 tend vers 0 quand n tend vers l'infini (parce que -3/10<1)
Donc Un tend vers -4/13
Dans Un, tu as tout le bloc (a-4/13)(-3/10)^n-1 qui tend vers zéro car (-3/10)^n-1 tend vers 0 quand n tend vers l'infini (parce que -3/10<1)
Donc Un tend vers -4/13
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