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Sujet du devoir
Bonjour,Veuillez svp m'aider pour le devoir qui suit :
Soit deux suites relles, n appartenant à N, définies par :
U1=13
Un+1=(Un+2Vn)/3 pour n plus grand ou égal à 1
et :
V1=1
Vn+1=(Un+3Vn)/4 pour n plus grand ou égal à 1
Partie B : Récurrence
-Démontrer que pour tout n plus grand ou égal à 1, Un plus grand ou égal à Vn
-En déduire que Un et Vn sont monotones
-Démontrer qu'elles sont bornées par 1 et 13.
Partie C : suites auxiliaires :
-On pose Wn=Vn-Un
Démontrer que Wn est une suite géométrique
Exprimer Wn en fonction de n pour tout n de N
-On pose Tn=3Un+8Vn
Démontrer que Tn est constante et préciser sa valeur en fonction de n
En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n, préciser les limites de Un et Vn.
Merci pour votre aide.
Où j'en suis dans mon devoir
Dans la partie A, il était demandé de calculer les 4 premiers termes de Un et Vn :J'ai trouvé :
U2= 5, U3=4,33, U4=4,28
V2=4, V3=4,25 V4=4,27
Et de conjecturer :sens de variation, majorant, minorant, comparaison, limites
(pouvez-vous également m'éclairer sur majorant, minorant et comparaison !!)
Partie B récurrence :
Démontrée pour n=1 (U2=5, et V2=4), puis l'idée m'est venue d'utiliser Un+2 et Vn+2, en fonction de Un et Vn pour démontrer l'hérédité, mais impossible d'aboutir au résultat demandé !, malgré tout, j'arrive à (Un-Vn)/12, mais comment montrer que Un est plus grand que Vn.
Après des calculs assez longs, je trouve Un+2-Un+1=Vn-Un/18 (vérifié numériquement)
Partie C : en cours dinvestigation, mais pistes floues..!!!
Je trouve malgré tout le résultat suivant :
Vn+2-Un+2=Wn+2=(Vn-Un)/144
4 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Je ne vérifie pas les premiers termes de ta suite.
Pour montrer que Un >= Vn pour tout n >=1 :
1- initialisation au rang 1 : U1 = 13 et V1 = 1 donc U1 > V1 donc la proposition est vrai au rang 1
2- on suppose Un >= Vn
calculons U(n+1) - V(n+1)
U(n+1) - V(n+1) = ... (Un - Vn) / 12
Comme, par hypothèse, Un >= Vn, alors Un - Vn >= 0
Par conséquent (Un - Vn) / 12 >= 0
Ce qui signifie que U(n+1) - V(n+1) >= 0
Ou bien encore que U(n+1) >= V(n+1)
A toi de jouer pour la suite.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Je ne vérifie pas les premiers termes de ta suite.
Pour montrer que Un >= Vn pour tout n >=1 :
1- initialisation au rang 1 : U1 = 13 et V1 = 1 donc U1 > V1 donc la proposition est vrai au rang 1
2- on suppose Un >= Vn
calculons U(n+1) - V(n+1)
U(n+1) - V(n+1) = ... (Un - Vn) / 12
Comme, par hypothèse, Un >= Vn, alors Un - Vn >= 0
Par conséquent (Un - Vn) / 12 >= 0
Ce qui signifie que U(n+1) - V(n+1) >= 0
Ou bien encore que U(n+1) >= V(n+1)
A toi de jouer pour la suite.
Niceteaching, prof de maths à Nice
salut
pour le lancement voir les aides précédentes
partie C)
Wn=Vn-Un
avec Un+1=(Un+2Vn)/3 pour n plus grand ou égal à 1
Vn+1=(Un+3Vn)/4 pour n plus grand ou égal à 1
ce qui nous donne Wn+1=Vn+1-Un+1=(Un+3Vn)/4-(Un+2Vn)/3
==> meme denomerateur
Wn+1=(1/12)(Vn-Un)=(1/12) Wn <==< donc W est géometrique de raison q=1/12 et de 1er terme W1=1-13=(-12)
d'on le terme générale est Wn=(-12)*(1/12)^(n-1)
Tn=3Un+8Vn elle est constante si en calculant Tn+1 on retrouve
Tn+1=Tn=3Un+8Vn, faire le calcul et conclure.
a+
pour le lancement voir les aides précédentes
partie C)
Wn=Vn-Un
avec Un+1=(Un+2Vn)/3 pour n plus grand ou égal à 1
Vn+1=(Un+3Vn)/4 pour n plus grand ou égal à 1
ce qui nous donne Wn+1=Vn+1-Un+1=(Un+3Vn)/4-(Un+2Vn)/3
==> meme denomerateur
Wn+1=(1/12)(Vn-Un)=(1/12) Wn <==< donc W est géometrique de raison q=1/12 et de 1er terme W1=1-13=(-12)
d'on le terme générale est Wn=(-12)*(1/12)^(n-1)
Tn=3Un+8Vn elle est constante si en calculant Tn+1 on retrouve
Tn+1=Tn=3Un+8Vn, faire le calcul et conclure.
a+
Bonjour,
Un grand MERCI à tous et bon dimanche.
Un grand MERCI à tous et bon dimanche.
Ils ont besoin d'aide !
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majorant: le nombre que tu penses que tes termes n'iront pas au dessus
Comparaison: si tu pense que Vn sera au dessus ou en dessous de Un
Pour ta récurrence, relis comment oon fait une récurrence, tu calcule Un+1-Vn+1 et tu obtiens 1/12 Un-Vn, ce qui fait que si Un >=Vn alors Un+1>=Vn+1, et tu as ta récurrence ;), il suffit de bien poser " je suppose al porpriété vraie au rang n, je la montre au rang n+1"