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Sujet du devoir
On ne sait pas si l’histoire suivante est vraie ou non.
Le Roi demande à l’inventeur du jeu d’échecs de choisir lui-même sa récompense.
Celui-ci répond (en ce temps là, on tutoyait les rois) :
« Place deux grains de blé sur la première case de l’échiquier, quatre grains sur la deuxième, huit sur la troisième, seize sur la quatrième et ainsi de suite. Je prendrai tous les grains qui se trouvent sur l’échiquier ».
Le Roi sourit de la modestie de cette demande.
En réalité, cette demande était-elle vraiment modeste?
A) Quelques calculs:
1.On numérote les soixante-quatre cases de l’échiquier de 1 à 64 et, pour chaque entier n (1<=n<=64), on note un le nombre de grains de blé que le Roi doit déposer dans la n-ième case.
(a) Calculer u1,u2, ...,u10.
(b) Comment passe-t-on d’un terme au suivant?
(c) Quelle est la nature de la suite (un) ?
(d) Exprimer un en fonction de n et calculer u64.
2. On note S le nombre total de grains sur l’échiquier. Ainsi S = 2 + 2^2+...+2^64.
(a) Expliquez pourquoi 2S= 2² x 2^3+ ...+2^64 + 2^65.
(b) Déduisez-en que 2S−S = 2^65 − 2
B) Le Roi avait-il raison de sourire?
Pour répondre, sachez qu'un grain de blé pèse en moyenne 5x10^-2 gramme et qu'un mètre cube de blé pèse en moyenne une tonne.
Quelles pourraient être les dimensions d'un grenier qui contiendrait le blé gagné par l'inventeur ?
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fais le 1 du A
Le reste je n'y arrive pas pouvez-vous m'aidez svp ?
7 commentaires pour ce devoir
Ah je n’avais pas vu la multiplication.
C’est une erreur dans le livre, ce n’est pas la première fois qu’il y aurait une erreur dans un livre.
Je suis sûr de moi ; c’est une histoire très connue en mathématiques.
On demande le nombre total de grain, donc il faut bien faire une somme et pas une multiplication.
Comprenez-vous ?
Oui merci beaucoup
Pouvez vous me corriger sa la reponse a la question 2 s'il vous plais ?
u64 = 18446744073709552000 (=un nombre très grand !)
soit 1.84 10^19 grains
poids
1.84 10^19*5 10^-2 grammes
soit 1.84*5 10^17 grammes
soit 9.2 10^11 tonnes
soit une taille de grenier de 9.2 10^11 m^3
2)a) S = 2 + 2² + 2^3 + ... + 2^64
donc 2S = 2(2 + 2² + 2^3 + ... + 2^64) = 2²+2^3+...+2^64+2^65 (simplement la distibutivité !)
b)Si tu fais 2S-S, tous les termes disparaitront, étant a la fois dans S et dans 2S, sauf ... 2^65 de 2S et 2 de S (a toi de le rédiger correctement)
Donc 2S-S = S = 2^65-2
B) Il suffit de calculer S, puis multiplier par le poids d'un grain. Le nombre de tonne de blé correspondra au nombre de m cube
Oui, la tu prends seulement le blé qui est sur la dernière case ! Il faut prendre la somme de toute les cases, donc S. Cela dit la fin du raisonnement est juste :-)
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
2a)
Que donne 2*2^x ? sous la forme d’une puissance de 2.
S = 2 + 2^2+...+2^64.
2* S = 2* ( 2 + 2^2+...+2^64) = …..
Distribuez simplement.
2b)
2S = 2^2 +2^3 +2^4 + ...+2^64 +2^65.
-
S = 2 +2^2 +2^3 +2^4+...+2^64.
= ????
Faites la soustraction.
Bonjour merci d'avoir répondu
2a) j'ai distribuer j'ai fais:
2*S= 2*2+2*2²+...+2*2^64
2*S= 2²+2^3+...+2^65
moi je trouve 2S= 2²+2^3.... alors que dans le livre il trouve 2S= 2²*2^3....
2b) je trouve 2S-S = 2² * 2^65 - 2 - 2²