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Sujet du devoir
Exercice 1/On considère la suite (Un) n dans N définie par U0=1 et telle que pour tout entier n: Un+1= 1/3 Un+4 et on pose pour tout entier naturel n: Vn=Un-6
a) Calculer Vn+1 en fonction de Vn pour tout entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (Vn)?
b) Démontrer que pour tout entier naturel n: Un= -5 (1-3) puissance n +6
c) Etudier la convergence de la suite (Un)
2) On considère la suite (Wn) dont les termes vérifient pour tout entier naturel n, n>1: nWn= (n+1) Windice(n-1) +1 et Wo = 1 Le tableau suivant donne les 10 1ers termes de cette suite: W0=1 W1=3 W2=5 W3=7 W4=9 W5=11 W6= 13 W7=15 W8=17 W9=19
a) Détailler le calcul permettant d'obtenir W10
b) Etudier la nature de la suite (Wn) puis calculer W2011.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fait:a) Vn+1 = Un+1 -6 = 1/3Un+4-6= 1/3Un-2 (A verifier si c'est juste)
b) Raisonnement de récurrence : initialisation n=0
On voit que c'est vrai donc hérédité: Un= -5 (1-3)puissancen+6 et j'ai pris Un+1 = 1/3 (-5(1/3)puissancen+6)+4 ensuite je trouve Un+1= -5/3(1-3)puissance(n+1) +6 donc c'est vrai. (A verifier si c'est juste)
c) Je ne me rappelle plus de mes cours de prmeière. J'aurais besoin d'aide pour cette question. Et quand il cite "etudier" c'est-à dire quelles étapes dois-je faire et les choses que je dois chercher ?
2) a) je trouve W10=21
b) Le mot "etudier" me bloque car je ne sais pas ce que je dois écrire si ce doit etre justifié ou pas. Et je ne sais pas vraiment comment est-ce que je peux etudier la nature de la suite.
Je sais que ça a l'air bête mais depuis la rentrée : Cerveau = Néant.
Donc SVP AIDEZ-MOI !
9 commentaires pour ce devoir
Peux tu me récrire l'expression de Un dans la question 1)b) car je ne la comprends pas.
Un= -5 * ((1/3)exposant n) +6
merci pour la 1ere question et pour l'aide :)
merci pour la 1ere question et pour l'aide :)
Utilise"^" pour écrire les puissances.
b)Pour le raisonnement par récurrence, on vérifie que l'égalité est vraie pour n=0.-5*(1/3)^0+6 = -5+6=1=Uo.
On suppose ensuite que l'égalité est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1.
U(n+1) =1/3Un +4= 1/3*[(-5)*(1/3)^n+6]+4=(1/3)^(n+1)*(-5)+2+4
= -5*(1/3)^(n+1)+6
b)Pour le raisonnement par récurrence, on vérifie que l'égalité est vraie pour n=0.-5*(1/3)^0+6 = -5+6=1=Uo.
On suppose ensuite que l'égalité est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1.
U(n+1) =1/3Un +4= 1/3*[(-5)*(1/3)^n+6]+4=(1/3)^(n+1)*(-5)+2+4
= -5*(1/3)^(n+1)+6
c) Pour montrer qu'une suite converge il faut montrer ici qu'elle est croissante et majorée.
Or 0<1/3<1 donc 0^n<(1/3)^n<1^n donc 0<(1/3)^n<1 et donc en multipliant toute l'inégalité par -5, on a
0> -5*(1/3)^n>-5 et donc 6>Un>1 donc Un est majorée par 6.
Pour montrer qu'elle est croissante calcule la différence U(n+1)-Un et montre qu'elle est positive.
Or 0<1/3<1 donc 0^n<(1/3)^n<1^n donc 0<(1/3)^n<1 et donc en multipliant toute l'inégalité par -5, on a
0> -5*(1/3)^n>-5 et donc 6>Un>1 donc Un est majorée par 6.
Pour montrer qu'elle est croissante calcule la différence U(n+1)-Un et montre qu'elle est positive.
2)Pour étudier la nature de la suite ,il faut dire si elle est geometrique, arithmetique ,constante..et le prouver.
Merci BEAUCOUP ! pour la c notamment :) et j'ai essayé pour la 2/b/ de faire Un+1-Un car elle semble arithmétique... car on a l'impression qu'elle fait UN= 2n+1 mais je ne sais pas comment le prouver...
Tu as raison Wn=2n+1.
On va le démontrer par récurrence.
2*0+1=1=Wo est vérifié
Supposons que Wn = 2n+1 et montrons que W(n+1)= 2(n+1)+1=2n+3
On sait que W(n+1)= [n+2)Wn + 1]/(n+1)=[(n+2)(1+2n)+1]/(n+1)
= (n+2+2n²+4n+1)/(n+1)= (2n²+5n+3)/ (n+1)= [2n+3)(n+1)]/(n+1)
= 2 n + 3
On va le démontrer par récurrence.
2*0+1=1=Wo est vérifié
Supposons que Wn = 2n+1 et montrons que W(n+1)= 2(n+1)+1=2n+3
On sait que W(n+1)= [n+2)Wn + 1]/(n+1)=[(n+2)(1+2n)+1]/(n+1)
= (n+2+2n²+4n+1)/(n+1)= (2n²+5n+3)/ (n+1)= [2n+3)(n+1)]/(n+1)
= 2 n + 3
Merci BEAUCOUP ! :D
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déjà tu n'as pas répondu à la première question .On veut V(n+1) en fonction de Vn et donner ensuite la nature de la suite.
Vn+1 = Un+1 -6 = 1/3Un+4-6= 1/3Un-2= 1/3(Un -6)= 1/3 Vn
donc la suite Vn est géométrique.