Trouver une tangente commune à deux courbes

Sujet du devoir

Bonjour!

J'ai un Dm de mathématiques à rendre pour demain et j'ai du mal avec le second exercice.

Son énoncé: "On considère les représentation graphiques des fonctions exponentielles et logarithme népérien. Existe-t-il des droites tangentes communes aux deux courbes?"

J'avais avec un repère avec les deux représentation graphique du logarithme et de l'exponentielle.

Où j'en suis dans mon devoir

Pour commencé j'ai utiliser la formule de l'équation de la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a)
et j'ai trouvé:
T1 y=e^a(x-a)+e^a soit y=xe^a-ae^a+e^a
T2 y'=1/b(x-b)+lnb soit y'=1/bx-1+lnb

Je sais qu'après je dois faire un système à deux inconnus et montrer que les  coef directeurs sont égaux ainsi que l'ordonnée à l'origine. J'ai donc posé le système:

e^a=1/b
e^a-ae^a=lnb-1

Mais je n'arrives pas à le résoudre. Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance