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Sujet du devoir
Chaque année 20 % de la population d'une ville X migre vers une ville Y et 5 % de la population de Y migre vers X. On suppose pour simplifier que ces migrations sont les seuls facteurs influant sur la poppulation des deux villes.On note x et y les population des villes X et Y une année donnée et x' et y' l'année suivante.
On note : X = [ x et X' = [ x'
y] y']
1) Expliquer pourquoi X'= AX où A est une matrice à préciser.
2) Si la population actuelle de X est 8500 et celle de Y 11500, quelles étaientles population l'année précédente ?
3) Calculer la répartition des populations au bout de trois année
4) Par quelle relation la répartition de la population est 'elle donnée au bout de n année ?
5) Donner à 10^(-3) près les matrices A^10; A^30; A^50; A^100
6) Qu'observe t'on ?
7) Quelles seront les populations au bout de 50 ans ?
8) Si la population totale des deux villes est x+y = 20000, quelles seront les populations 50 ans après ? Cela dépend t 'il de la répartition initiale ?
Où j'en suis dans mon devoir
1) La population des villes de l'année suivante notée X' est le résultat du produit de la matrice A soit les pourcentages de migrations d'une ville à une autre et de la population actuelle des deux villes soit la matricée notée X'A = [ 0,8 0,05 ← Situation de la ville X
0,20 0,95 ] <-- Situation de la ville Y
2) J'ai essayé de calculer avec X' = AX donc X= AX'
[85 000 = [0,8 0,05
11 500] 0,20 0,95] * X'
Mais je ne suis pas sûre.
3) A³ = [ 43/80 37/320
37/80 283/320]
A³ * X = [ 5898,4375 → [ 94375/16
1411, 5625] 1411, 5625]
4) La population au bout de n année sera A^n X
5) A¹°= [ 0, 245 0,189
0,755 0,811]
A³° = [ 0,200 0,200
0,800 0,800]
A⁵° = [ 0,200 0,200
0,800 0,800]
A¹°° = [0,2 0,2
0,8 0,8 ]
6) Au cours des années, la population des villes stagne.
7) Je n'ai pas pu répondre à cette question car elle est en lien avec la question 2
8) Je n'arrive pas à poser la problème.
Merci d'avance de m'aider..
2 commentaires pour ce devoir
Mon professeur m'a donné un exercice similaire, avec les mêmes questions mais formulé différement, et il donne la matrice A qui est bien [ 0,8 0,05
0,20 0,95 ]
...
Le reste j'ai re fais et c'est bon :)
Merci :)
0,20 0,95 ]
...
Le reste j'ai re fais et c'est bon :)
Merci :)
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0.05 0.95
4)c'est la matrice initiale multiplié par matrice A^exposant n
5)faut reprendre la matrice A que je te conseille pour refaire tes calculs
6)les flux population ne stagne pas (!!!) mais ils se stabilise, la population est alors la même pour les 2 villes
7)faut faire la matrice X: 8500 multiplié par la matrice A^50
1170
X*A^50 (exposant 50)