Congruences et devisibilite

Sujet du devoir

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9 + a2, où a est un entier naturel non nul. Par exemple, 13 ∈ E car 10 = 9 + 22.

On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1) Étude de l’équation d’inconnue a∈N, a2 +9=2n, où n∈N, n>=4

(a) Montrez que si a existe, a est impair.

(b) En raisonnant modulo 4, montrez que l’équation proposée n’a pas de solution.

2) Étude de l’équation d’inconnue a∈N, a2 +9=3n, où n∈N, n>=3

(a) Montrez que si n>=3,3n estcongru à 1ou3 modulo4.

(b) Montrez que si a existe, il est pair et déduisez-en que nécessairement n est pair.

(c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p >=2.

Déduisez d’une factorisation de 3n − a2 que l’équation proposée n’a pas de solution.

3) Étude de l’équation d’inconnue a∈N, a2 +9=5n, où n∈N, n>=2

(a) En raisonnant modulo 3, montrez que l’équation est impossible si n est impair.

(b) On pose n = 2p, en s’inspirant du 2c), démontrez qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 + 9 est une puissance entière

Où j'en suis dans mon devoir

1) à) j ai dit que si a existé tel que 9+ a carré = 2n alors a carré = 2 puissance n -9 or 2puissance n est pair et 9 impair donc à carré impair 

donc à impair 

b) j ai pas trouver 

2) a)j ai fais pour n pair n = 2k or 2 3 puissance 2 congrue 1 modulo 4 donc 3 puissance 2*k pareil et pour n impair 3 puissance 2K+1 congrue 3 modulo 4 

le le reste je ne comprend pas