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Sujet du devoir
On définit la suite (Un) par U0=1 et, pour tout entier naturel n :
Un+1 = Un + (2/3)^n
1) La suite est-elle géométrique ?
2) Etudier la variation de la suite (Un)
3) On pose, pour tout n appartenant à N : Vn = Un+1-Un
Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
Où j'en suis dans mon devoir
Bonjour,
1) Je sais que lorsqu'une suite est géo. Un+1 = Un*q
Ici on voit bien que la suite ne correspond pas.
Est-ce bien cela ?
J'ai également vu que Si Un>0 Un+1/Un = 0 alors la suite est géo.
Mais ici je ne vois vraiment pas comment vérifier car je ne connais pas Un.
A moins que ce soit Un = Un-1 + (2/3)^(n-1) ?
Je suis bloquer dès la première question.
Pouvez vous m'aider afin de me débloquer ?
Merci
22 commentaires pour ce devoir
Petit rappel : une suite est géométrique si chaque terme est obtenu à partir du précédent par multiplication par une constante q, c'est-à-dire : pour tout naturel n, Un+1 = qUn. Tu sais que la constante q est appelée raison de la suite. Pour démontrer qu'une suite (Un) dont les terme sont non nuls, est géométrique, on peut prouver que le quotient (Un+1) / Un est une constante indépendante de n.
Si (Un) est une suite géométrique de raison q, alors Un = q^nU0, Un = q^n-1U1, etc.
pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, tu peux utiliser la formule 1 + q + q² +..... + q^n = (1-q^n+1) / (1-q) à condition bien sûr que q soit différent de 1
bon courage
Je viens de voir que la suite n'est pas géométrique et que je dois étudier sa variation. Or je n'ai pas Un comment faire ?
Est-ce que Un= Un-1 + (2/3)^(n-1) ?
Premièrement: comprends-tu ce que veut dire "étudier les variations d'une suite" ?
C'est savoir si la suite est croissante, décroissante ou constante
Exactement. Imaginons que la suite soit croissante par exemple. Qu'est-ce que ça voudrait-dire ?
Par exemple, si tu devais expliquer à quelqu'un qui n'a pas compris ce que voulait dire qu'une suite était croissante: tu lui dirais quoi ?
Que Un+1 - Un > 0 donc que Un+1 > Un
Donc qu'est-ce qui t'empêches de calculer U[n+1] - U[n] pour savoir la croissance/décroissance/constance ?
Et bien je ne suis pas sur d'avoir trouver Un :(
J'ai trouver Un= Un-1 + (2/3)^(n-1)
Pas besoin de connaître l'expression explicite de U[n] pour pouvoir calculer U[n+1] - U[n]
On te donne U[n+1] = U[n] + (2/3)^n
A partir de ça tu peux calculer U[n+1]-U[n].
Je suis désolé je ne vois vraiment pas comment :(
Ne cherche pas trop compliqué ^^
Si j'ai a = b + c
Que peux-tu dire de la soustraction a-b ?
Si a = b + c
alors a - b = c
Donc si Un+1 = Un + (2/3)^n
alors Un+1 - Un = (2/3)^n mais on trouve un nombre avec n :/
Mais que sais-tu sur n ? Il peut être compris entre quelle et quelle valeur ?
n est un entier naturel n>0
Donc (2/3)^n >0
donc Un+1 - Un > 0 donc la suite est croissante
Merci beaucoup
Excusez moi mais je suis bloquer à la dernière question 4 qui est de mettre Un+1 en fonction de n :/
Après avoir trouver que Vn est une suite géom. de raison q=2/3
Je peux dire que Vn = V0 * (2/3)^n = 1 * (2/3)^n = Un+1 - Un
Donc que Un+1 = -Un - (2/3)^n
Mais ensuite je ne sais plus, je n'ai jamais exprimer en fonction de n lorsque une suite ici Vn est avec deux "inconnus" (Un+1 et Un)
La question que l'on te pose, c'est bien d'exprimer (Vn) en fonction de n, n'est-ce pas ? (ou alors j'ai mal lu)
Pour savoir si la suite est geométrique ou pas , tu calcules U0, U1 et U2
puis U1/U0 et U2/U1
si tu ne trouves pas le même résultat alors la suite n'est pas géométrique
tu écris
Donc si Un+1 = Un + (2/3)^n
alors Un+1 - Un = (2/3)^n mais on trouve un nombre avec n :/
Mais (2/3)^n n'est -il pas positif?
Ils ont besoin d'aide !
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Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, tu peux faire en sorte de montrer que u2/u1 est différent de u1/u0 :)
U0 = 1
U1 = 1+(2/3)^0 = 2
U2 = 2+(2/3)^1 = 2+(2/3) = 6/3 + 2/3 = 8/3
Donc
U1/U0 = 2/1 = 2
U2/U1 = (8/3) / 2 = 4/3
4/3 différent de 2 donc la suite n'est pas géométrique, c'est ça ?
Oui :)
Merci