DM : Suites

Sujet du devoir

Les suites (Un) et (Vn) sont définies respectivement, pour tout entier naturel n, par :

Un = (3n - 1) / (n + 1)
V0 = 1

Vn+1 = (2/3) * Vn + 1 

1/ Calculez les cinq premiers termes de la chaque suite. Que pouvez-vous conjecturer      concernant leur sens de variation?

2/ On admet que pour des valeurs de n de plus en plus grandes, Un et Vn sont de plus en plus proches du nombre 3. On veut comparer les <<façons>> d'approcher le nombre 3 par chacune des suites. Pour cela on note, pour tout entier naturel n :

Un = 3 - Un et Vn = 3 - Vn.

Les nombres Un et Vn sont les <<distances>> respectivement de Un et Vn au nombre 3. 

a) Exprimez Un en fonction de n.

b) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn. Déduisez-en la nature de la suite (Vn) puis exprimez Vn en fonction de n.

c) Pour chacune des suites (Un) et (Vn), déterminez l'indice du premier terme qui appartient à l'intervalle ]0 ; 10^-6[.

Où j'en suis dans mon devoir

1/ Un=(3n+1)/(n+1)

U0=(3*0+1)/(0+1)=1

U1=(3*1+1)/(1+1)=4/2=2

U2=(3*2+1)/(2+1)=7/3

U3=(3*3+1)/(3+1)=10/4=5/2=2.5

U4=(3*4+1)/(4+1)=13/5=2.6

V0=1

Vn+1=2/3Vn+1

V1=2/3*1+1=5/3

V2=2/3*5/3+1=19/9

V3=2/3*19/9+1=65/27

V4=2/3*65/27+1=211/81

Les 2 suites sont croissantes.

Pour le 2 je n'y arrive pas.

Merci de votre aide.