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Sujet du devoir
On condidère un ABC triangle équilatéral de coté 1. On partage ensuite chaque coté en 3 et crée sur chacun des cotés la figure suivante :
Bonjour, voici mon sujet sur lequel je coince..
On a ainsi créé trois autres triangles équilatéraux "au milieu", 3 fois plus petit que le précédent. On refait pareil sur chacun des 12 cotés de la nouvelle figure; on obtient vite une figure similaire à un flocon.
On definit plusieurs suites :
(Ln) : Longeur des cotés des triangles équilatéraux successifs :L0 =1
(Cn) : nb de coté du "flocon" C0=3
(Pn) : Périmétre des "flocons" successifs P0=3
(An) : Aire des "flocons" successifs
a) Faire un dessin de trois premières étapes
b) Calculer A0
c) Trouver les relations qui lient les termes suivants aux précédents, pour chacune des 3 première suits. A quel tpe de suite avons-nous à faire?
d) En déduire les expressions des termes généraux en fonction de n pour ces 3 suites
f) Determiner la relation qui lie les termes suivants aux précédents pour la suite des aires An (On exprimera An+1 en fonction de An, Cn, Ln+1
g) Avec l'aide de calculatrice, d'algorithme ou encore de tableur, conjecturer la limite de An. Que constate-t-on? Alors que la limite de Pn est ...
h) Trouver An en fonction de n par calcul ( indice : la somme 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1-q^n)/(1-q) ) et en déduire la limite précise.
Image concernant mon devoir de Espagnol
Où j'en suis dans mon devoir
Alors :
a) D'apres l'énoncé, je me retrouve en effet avec une figure qui ressemble fortement à un flocon. J'ai déja réusssi a créer le dessin des 3 premieres figures sans trop de difficiluté. ( voir illustration scanné)
b) Je sais que l'aire d'un triangle équilatérale est : A = a² (V3/4) avec, a la longueur d'un coté, et V qui signifie la racine carré. Pour calculer A0, comme L0 = 1, A = 1² (V3/4) = (V3/4)
Je me suis arreté la, apres avoir pourtant chercher longtemps. Pas très à l'aise dans les suites numériques, j'aurais bien besoin d'aide. Merci d'avance.
1 commentaire pour ce devoir
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c)
(Ln) :
A quoi est égal le cote des petits triangles créés dans la figure 2 ?
Par construction, ce coté est égal à un tiers du coté L0
Donc L1=L0 /3
Donc L2=L1 /3
A quoi est égal selon vous Ln en fonction de L(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?
(Cn) :
A chaque niveau, on prend une longueur que l’on coupe en trois pour créer un triangle équilatéral au milieu ; à chaque longueur on crée alors quatre cotés.
C0 =3 => C1 = 4 * C0 => C2 = 4 * C1
A quoi est égal Cn en fonction de C(n-1) ?
Quelle est alors ce type de suite ?
(Pn) :
A quoi est égal Pn en fonction de Ln et Cn ?
Déduisez en une relation entre Pn et P(n-1).
d)
Une fois trouvée le type de suite, c’est une question de cours pour trouver ces suites en fonction de n.
f)
(An) :
Vous avez bien calculé A0.
Pour A1, il faut remarquer que la figure 1 (celle qui a pour aire A0) est toujours présente.
Si on retire la figure 1 à la figure 2, il reste trois petits triangles.
L’aire de ces petits triangles est (L1)² * V(3)/4
Le nombre trois est fonction du nombre de cotés du niveau précédent.
A1 = A0 + C0 * (L1)² * V(3)/4
Pouvez trouver une relation entre A(n+1), An, Cn et L(n+1) ?
g)
A votre calculatrice.
h)
Si vous avez trouvé la relation de A(n+1) à la question f), il vous suffit de remplacer les expressions trouvées à la question d) (en fonction de n) pour trouver la réponse.