Dérivation (étude de fonction) et Suites Arithmétiques Et Géométriques

Sujet du devoir

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien en ce jour de confinement.

   Malheureusement, en plein confinement, notre manière de travailler diminue et parfois on ne comprend pas trop les cours car on n'a pas l'atmosphère travailleuse et c'est difficile de bien apprendre vue toute la technologie qui nous distrait...

 Notre devoir concerne la DERIVATION et LES SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

PARTIE 1(14 points)

exercice 1 (4 points)

On considère la fonction f(x) = e^x  - x + 1 définie et dérivable sur IR.

1)      Déterminer une expression de la dérivée de f.

2)      Dresser le tableau de signes de f ' (x) sur  IR.

3)      En déduire le tableau de variations de f sur IR.

4)      Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.

exercice 2 (5 points)

On considère la fonction g(x) = (x – 2)e  ^{- 2x + 6} + 3 définie et dérivable sur  IR.

1)      a) Déterminer une expression de la dérivée de g.

b) Donner le tableau de signes de cette dérivée sur  IR.

c) En déduire le tableau de variations de g sur  IR.

2)      Le bénéfice (en millions d'euros) d'une grande entreprise en fonction de la quantité x (en tonnes) de métal vendue est donné par la fonction g.

a) Quelle quantité minimale doit vendre l'entreprise pour réaliser un bénéfice ?

b) Quel est le bénéfice maximal ? Pour quelle quantité de métal vendu ?

exercice 3 (5 points)

Une balle rebondit sur une table à 2m de son bord droit.

Le premier rebond a pour longueur 1m, puis chaque rebond est deux fois moins long que le précédent.

1)      Modéliser la situation par une suite (u_n) où u_n  représente la longueur (en m) du n-ième rebond.

2)      Représenter par un nuage de points les premiers termes de cette suite.

3)      Le nuage de points obtenu se situe sur la représentation graphique d'une fonction de la forme :

f(t) = ae^kt . Déterminer une expression de la fonction f.

4)      Expliquer pourquoi f(t) > 0 pour tout nombre réel t.

5)      Expliquer pourquoi la balle ne peut pas tomber de la table.

PARTIE 2 (16 points)

exercice 1 (6 points)

D'après l'ADEME, en 2017, les Français ont en moyenne produit 365kg de déchets ménagers par habitant.

Ayant constaté, avec déception, que ses administrés ont produit 23 000 tonnes de déchets en 2 017, la maire d'une commune de 53 700 habitants a décidé de mettre en place une nouvelle campagne de recyclage des déchets valorisables. Cela a permis à la ville d'atteindre, en 2 018, 400kg de déchets en moyenne par habitant et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5% par an pendant cinq ans.

1)      Justifier la déception de la maire en 2 017.

2)      Pour tout nombre entier naturel n, on note v_n la quantité (en kg) de déchets par habitant de cette ville durant l'année 2 018 + n. On note v₀ = 400.

PARTIE 2 (16 points)

exercice 1 (6 points) (suite)

a) Justifier que la suite (v_n) est géométrique et en préciser le premier terme et la raison.

b) En déduire que la production est bien décroissante.

c) En déduire, pour tout nombre nombre entier naturel n, l'expression de v_n en fonction de n.

d) Quel sera, à ce rythme, la production de déchets par habitant en 2022 ?

exercice 2 (6 points)

Marc a 357 euros dans sa tirelire.

Chaque semaine, il y dépose 4 euros supplémentaires.

On note S_n  la somme d'argent dans la tirelire de Marc au bout de n semaines,  n ∈  IN.

1)      Justifier que la suite ( S_n ) est arithmétique.

2)      Quel sera le montant de sa tirelire après un an ?

3)      Marc souhaite s'acheter un scooter d'occasion d'une valeur de 649 euros avec l'argent de sa tirelire.

Combien de semaines devra-t-il attendre pour pouvoir se l'offrir ?

exercice 3 (4 points)

1)      La suite (u_n) est arithmétique de raison r = 3,7 et de premier terme u₀ = -15,8.

a) Calculer u₅  et u₁₇ .

b) Calculer la somme u₅ + u₆ + … + u₁₇ .

2)      La suite (v_n) est géométrique de raison q = - 0,6 et de premier terme v₀ = 25.

Calculer la somme v₀ + v₁ + … + v₇ .



Je vous remercie de vouloir nous aider (car je sais qu'il y aura des camarades qui vont voir), car notre prof nous donnes des bonnes exemples et un cours très compréhensible mais en face du contrôle il nous met des exercices extrêmement compliqué voire très très dur qu'on a peu vu en classe (il nous met sur un très haut niveau pour nous et on doit faire à sa manière).

Où j'en suis dans mon devoir

Je mettrai mes réponses ici au fur et à mesure.
Merci de bien vouloir me corriger au cas des fautes.

Très compliqué acutellement mais j'aimerai très bien comprendre et avec des méthodes.
Et la note de l'assiduité, je pense que c'est compliqué..