Devoir maison sur les dérivées, pouvoir factoriser par x au carré

Sujet du devoir

On considère la fonction P, définie sur R par:
P(x) = ax au cube + bx au carré + cx + d où a,b, c et d sont des réels.

1. Calculer P', puis P" dérivée de P', et enfin P"' dérivée de P". En déduire les expressions de P'(0), de P"(0) et de P"'(0) en fonction de a, b, c et d.

2. Etablir l'égalité suivante :
P(x) = P(0) + xP'(0) + (x au carré/2)P"(0) + (x au cube/6)P"'(0).

3. On suppose que P(x) est factorisable par x au carré ; montrer que P(0) = 0 et que P'(0) = 0.

4.Réciproquement, on suppose P(0) = 0 et P'(0) = 0. Montrer que P(x) est factorisable par x au carré.

Où j'en suis dans mon devoir

Bon jour, je suis en 1ère S et j'ai un devoir de mathématiques à rendre la semaine prochaine. Il ne me reste plus qu'à répondre aux questions 3 et 4, mais je n'y arrive pas.

Pour la question 1 j'ai trouvé :
P'(x) = 3ax au carré + 2bx + c
P"(x) = 6ax + 2b
P"'(x) = 6a

P'(0) = c
P"(0) = 2b
P"'(0) = 6a

Ensuite pour la question 2:
P(0) + xP'(0) + (x au carré/2)P"(0) + (x au cube/6)P"'(0)
= d + cx + (x au carré/2)2b + (x au cube/6)6a
= d + cx + bx au carré + ax au cube
= P(x)

Maintenant je suis bloquée aux questions 3 et 4 car je n'arrivé pas à factoriser par x au carré.
J'avais pensé à:
P(x) = X au carré ( ax + b + cx puissance -1 + dx puissance -2)
mais mon professeur m'a dit que ce n'était pas la bonne solution.

J'ai aussi pensé à :
P(x) = x au carré ( ax + b + (c/x) + (d/x au carré) )
mais si x= 0 il me semble que je n'ai pas le droit de mettre x au dénominateur.

Voilà, merci d'avance à ceux ou celles qui pourront m'aider.