Droites concourantes avec vecteurs

bonjour

pose le repère (A,B,C),
exprime les coordonnées de tous les points dans ce repère,
établis les équations des 3 droites,
puis recherche le point d'intersection.

si tu as appris les vect. directeurs (-b;a),
recherche directement les équations cartésiennes,
après avoir décomposé les vecteurs BJ, AI et CK dans le repère.

note : s'il n'y avait que 2 droites, il aurait suffi de montrer que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
mais avec 3 droites, cela ne suffit pas pour montrer qu'elles sont toutes concourantes en 1 seul point.

s'il y a une méthode plus courte, je pense que d'autres personnes viendront t'aider :)

je viens de voir une autre méthode. (je pense, plus rapide?)

- décompose les vecteurs BJ, AI et CK dans le repère (donc en fonction de vectAB et vectAC., à l'aide de la relation de Chasles)
- déduis-en les coordonnées des 3 vecteurs
- pose M(x;y) l'éventuel point d'intersection.

si M existe, on doit avoir (tout en vecteurs)
AM colinéaire à AI
BM colinéaire à BJ
CM colinéaire à CK

en utilisant le relation de colinéarité xy '-x' y = 0
transcris les 3 conditions ci-dessus sous forme d'un système de 3 équations à 2 inconnues
puis résous-le : il existe un seul couple de solutions.

bonjour,

je suis d'accord avec Carita.
Il doit etre possible aussi de ne pas utiliser de repère.
Soit M le point d'intersection de BJ et AI.
exprimer MK et CK en fonction de BC, AB, et BC avec la relations de chasles pour montrer qu'ils sont colinéaires.. (ce qui voudrait dire que M est sur CK)..
NB : je ne l'ai pas fait !

Merci carita cela m'aide mais en revanche je n'était pas la pour la leçon donc je pense qje je vais avoir du mal mais déjà très aimable à toi de m'aider.

Merci carita cela m'aide mais en revanche je n'était pas la pour la leçon donc je pense qje je vais avoir du mal mais déjà très aimable à toi de m'aider.

Carita comment on établie les équations des 3 droites ?

bonjour

as-tu vu cette formule en cours ?
relation de colinéarité : xy '-x' y = 0

regarde bien, c'est pour choisir la méthode à utiliser.

Oui j'ai vu cette méthode mais je n'arrive pas a déterminer les coordonné de I

J'arrive a trouvé A(0;0) B(0;1) C(1;0) K(4/7;0) J(0;2/5) voilà je sais pas si c'est juste et pour I je ne trouve pas ses coordonnées

avant toute chose : fais le dessin, sinon tu t'en sors pas.

on va utiliser la 3ème méthode que j'ai décrite : c'est la plus rapide.

on pose le repère (A,B,C) : quelles sont les coordonnées de A, B et C dans ce repère ?

on va décomposer les vecteurs BJ, AI et CK dans le repère
EN FONCTION DE vectAB et vectAC., à l'aide de la relation de Chasles

je te montre pour BJ (tout en vecteurs)
BJ = BC + CJ --- on fait apparaitre CJ (dans l'énoncé)
BJ = BA + AC + CJ ---- tout doit être en FONCTION DE AB et AC
BJ = BA + AC + 3/5 CA ----- or 3/5 CA = - 3/5 AC
BJ = - AB + 2/5 AC <---- on encadre ce résultat

==> dans le repère posé, les coordonnées du vect BJ sont:
BJ(-1 ; 2/5)

fais de mm pour AI et CK
que trouves-tu ?

attention : dans le repère (A,B,C)
les coordonnées sont : A(0;0) B(1;0) C(0;1)

avec la méthode que nous allons suivre, il n'est pas nécessaire de déterminer les coordonnées de I, J et K.

Alors pour AI = AB + 1/3AC et CK = -AC+4/7AB

Pardon pour AI = 2/3AB + 1/3 AC

je corrige toutefois ce que tu as dit :
les coordonnées trouvées pour J et K sont justes.
pour I, tu devrais faire de la façon suivante :

BI = 1/3 BC <=>
BA+AI = 1/3(BA+AC) --- toujours décomposer en fonction de BA et AC
-AB + AI = 1/3BA + 1/3AC
AI = -1/3AB + AB + 1/3AC
AI = 2/3AB + 1/3AC
d'où I(2/3 ; 1/3)

CK = 4/7AB - AC ---ok, donc coordonnées du vecteurs ?
AI = 2/3AB + 1/3 AC ---ok donc coordonnées du vecteurs
---

ensuite, on pose M(x;y) l'éventuel point d'intersection.

si M existe, on doit avoir (tout en vecteurs)
AM(x;y) colinéaire à AI(2/3 ; 1/3) <=>
(1/3) x - 2/3 y = 0 ---- 1ère équation

fais de mm pour
BM colinéaire à BJ
CM colinéaire à CK

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

D'accord je comprend mieux la après pour calculer les équations de droites je les ai faite
Pour BJ -1x +2/5y +1
CK -4/7x + 1y -1
AI -2/3x + 1/3y + 1/3

si je comprends ce que tu as écrit,
tu préfères utiliser la 1ère méthode que je t'ai indiqué, à savoir établir les équations de droites,
mais ce n'est pas celle que j'ai suivie.

on est d'accord?

si tu veux faire avec les équations de droites,
je corrige ce que tu as écrit:
une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c = 0
--- il manque le =0 à tes équations.

et je ne trouve pas comme toi: montre-moi le détail de ton raisonnement, par ex avec l'équation de (AI)

Si tu as une méthode plus rapide cela me va aussi bien vu que j'ai un contrôle dans pas longtemps si je peux gagner du temps cela m'arrangerai. J'ai fait une erreur pour trouver les coordonnées au lieu de faire XB-Xa j'ai fait Xa-Xb

alors, suis la méthode amorcée 17/02/2013 à 10:18

Pour la résoudre il ne faut pas faire un système ?

tu as trouvé les 3 équations?
oui après tu résous le système.

Les équations sont :
-BM colinéaire à BJ : -x - 2/5y = 0
-CM colinéaire à CK : 4/7 + y = 0
-AM colinéaire à AI : 1/3x - 2/3y = 0

BM colinéaire à BJ : -x - 2/5y = 0
CM colinéaire à CK : 4/7 + y = 0
non

je pense que tu as fait erreur sur les coordonnées des vecteurs
BM et CM, et sur l'application de la formule

stp, montre moi le détail de ce que tu écris
par ex pour BM colinéaire à BJ , qu'as-tu écrit ?

Je me suis servi de ta méthode pour AI.
Je viens de comprendre mon erreurs donc maintenant :
-BM -2/5x + y = 0
-CM -x - 4/7y =0

non
vectBM(x-1 ; y) <--- tu as fait erreur sur les coord.
vectBJ(-1 ; 2/5)

condition de colinéarité xy '-x' y = 0
<=>
(x-1)*(2/5) - (-1) * y = 0 <=>
(2/5)(x-1) + y = 0 <=>
(2/5)x + y - (2/5) = 0 --- équation 2

reprends pour le dernier.

note très importante :
l'équation 1 établie est aussi une équation de (AI)
l'équation 2 établie est une équation de (BJ)

J'ai oublié le x-1 je comprend mieux maintenant
Donc pour CM
--x - 4/7y + 4/7

attention à la notation, sinon cela n'a pas de sens:

CM colinéaire à CK <=> - x - 4/7y + 4/7 = 0
ceci est aussi une équation de la droite (CK)

ok
tu as donc le système des 3 équations
{(AI) : 1/3x - 2/3y = 0
{(BJ) : (2/5)x + y - (2/5) = 0
{(CK) : - x - 4/7y + 4/7 = 0

3 équations et 2 inconnues... cela fait une équation 'de trop'

résous à l'aide de 2 équations (de ton choix)
et contrôle si la solution trouvée vérifie la 3ème éq.

tu dois trouver M(4/9; 2/9)

je te propose, si tu peux scanner ta feuille, de me montrer la rédaction au propre que tu vas faire.
(sinon, tu l'écris ici)
je te dirais si tout est bon.
je m'absente un peu.
a+

c'est normal qu'a la fin je ne trouve pas 0 pour vérifié l'équation
{(AI) : 1/3x - 2/3y = 0
{(BJ) : (2/5)x + y - (2/5) = 0
{(CK) : - x - 4/7y + 4/7 = 0

{(AI) : 1/3x - 2/3y = 0
{(BJ) : (2/5)x + y - (2/5) = 0
{(CK) : -x + y = 1 --> x + 1 = y

{(AI) : 1/3x - 2/3y = 0
{(BJ) : (2/5)x +x + 1 - (2/5) = 0--> 7/5x + 3/5 = 0 --> 7/5x = -3/5 --> x = -7/3
{(CK) : -7/3 + 1 = y --> -4/3 = y
Voilà ce que je trouve

- x - 4/7y + 4/7 = 0
-x + y = 1 --- non il n'y a pas équivalence

tu dois trouver M(4/9; 2/9)

Je sais pas ou je me suis tromper je viens de le refaire toujoours avec la meme erreurs je ne comprend pas

17/02/2013 à 12:02

- x - 4/7y + 4/7 = 0 <=> x = - 4/7y + 4/7

On peut commencer par x ou y cela importe peut ?

tout à fait.

tu peux mm te servir de la 1ère équation qui est équivalente à
y = 0.5x

En faite j'ai 3 équations et je ne me sert que de 2 puis après je calcule avec ce que j'ai trouvé la 1 ère pour trouvé 0 et peu importe par quel donné je commence si c'est x ou y d'accord merci et maintenant je conclu en disant que les droites sont concourante en un point d'intersection M

tu as bien trouvé M(4/9; 2/9) ?
alors c'est bon, et réponds oui à la question posée.

oui j'ai refais et bien trouvé ce que tu m'a dit je répond juste oui à la question ?

tu détailles tous les calculs qui t'ont permis d'établie les coord. de M,
puis tu réponds à la question posée par une phrase, c'est tout.

tu as vu 17/02/2013 à 11:40 ?

D'accord sans soucis te le scanné je ne pense pas que se soit possible mais si c'est bien suivi toute tes informations je pense avoir abouti a un bon résultat merci de ton aide encore une fois.

de rien :)
bon dimanche !

ps : tu avais pu terminer l'autre exo ?

Bon dimanche à toi aussi :)
Il faut que j'aille vérifier je me suis plus préoccuper de mon exercice sur lequel il me manquait une leçon mais tu m'a encore aidé.