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Sujet du devoir

PROBLEME

Une usine peut produire en un mois entre 0 et 50 machines agricoles.

On a modélisé le bénéfice de l’entreprise, exprimé en milliers d’euros, par la fonction f définie pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 50] par : f(x)=x3-91x2+2079x-5445

On dit que l’entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif. 

1. On désigne par f’ la fonction dérivée de  f .Calculer f’(x)

2. Calculer la forme canonique de f’(x)

3. En déduire la forme factorisée de f’(x)

si elle existe.

4.Résoudre f’(x) = 0 avec le calcul du discriminant. Est-ce cohérent avec la réponse précédente ?

5. Déduire de la question 3 le tableau de variations de f :

6. À l’aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

7. Montrer que f(x)= (x-3)(x2-88x+1815)

8. Peut-on factoriser davantage f(x) ? Si oui, le faire.

9. Etudier le signe de f(x) sur [0 ; 50]. En déduire le nombre de machines qu’il faut faire pour que l’entreprise réalise des profits.

10. Donnez l’équation de la tangente T en 3 à la courbe représentative de la fonction f.

11. Faire un tableau de 11 valeurs sur [0 ; 50] puis tracer la courbe de f sur [0 ; 50] avec sa tangente T en précisant les coordonnées de deux de ses points.