Les nombres complexes

Sujet du devoir

Exercice 1:
Soit z un nombre complexe différent de -3, on pose z'= 2-(z barre)/3+z
Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que z' soit réel.

Où j'en suis dans mon devoir

On sait que z' est réel si il est égal à son conjugué : z réel = z barre

Donc : z'barre = 2-(z double barre)/3+Z
En sachant que Z barre = (x-iy) donc double barre = z = (x+iy)

J'ai donc effectuer le calcul :
z'barre= 2-(x+iy) / 3+(x-iy) x 3+(x+iy)/ 3+(x+iy) (multiplication par son conjugué)

Ca fait : 2-(x+iy) x 3+(x+iy) / 3+x²+y²

Je développe le numérateur, je trouve -6x²-6y²

Donc -6x²-6y² / 3+x²+y² = z ---> -6x²-6y² / 3+x²+y² = x+iy

Là je coince, je ne sais pas faire une équation avec des quotients et j'ai l'impression que mon calcul est faux, merci de votre aide