Les suites arithmétiques

Merci d' avoir répondu mais je trouve vn=3+7n : a la première question r=7 puis v0=3. Pour la question 2 je trouve un= 2/(4+7n) et enfin pour la 3) 28 571
pensez-vous que cela est bon car on ne trouve pas le même vn. Merci

Oui Vn=7n+3 excuse moi
Un=2/(7n+4) OK
et n>(210^5-4)/7 soit N=28 571
C'est OK
Excuse moi encore

Merci de me l'avoir confirmer . J'ai aussi un autre exercice et je vous demande de bien m'aider une nouvelle fois, svp :

Soit la suite (Un) définie par Uo=0.5 et Un+1=(5Un+4)/(Un+2)

1) Déterminer la fonction f telle que Un+1=f(Un). Montrer que l'équation f(x)=x a deux solutions alpha et bêta ( avec alpha > bêta)
Pour cette question, j'ai trouvé : f(x)=(5x+4)/(x+2) et alpha= 4 et bêta= -1

2) On pose Vn=(Un-4)/(Un+1). Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme V0.
J'ai prouvé qu'elle était géométrique et q= 1/6 et Vo= -7/3

3) Exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.
J'ai trouvé Vn= -7/3 * 1/6^n mais je n'arrive pas à exprimer Un avec la relation de la question 2). Je bloque sur : -3/7 * 6^n = (Un+1)/(Un-4) ; je n'arrive pas à extraiore Un. J'ai cependant tenté avec une méthode que j'ai trouvé sur le forum :
On admet : Un= x et Vn= y :
avec la relation du 2) : (x-4)/(x+1)=y
x-4= yx+y
x-yx= y+4
x(1-y)= y+4
x= (y+4)/(1-y)
Donc en remplançant, cela donne : ((-7/3*1/6^n)+4)/ (1+7/3*1/6^n). Cependant, cela reste bizarre. Je vous demande de bien m'aider sur cette question.

4)Etudier la monotonie de la suite (Vn)
Je sais qu'il suffit de faire Vn+1-Vn mais je ne comprend pas un résultat que j'ai vu sur un précédent topic : 7/3 * (5/6^n+1). Si vous pourriez me détailler le calcul svp afin de confirmer ou non ce résultat.

5) Donner la représentation graphique en chemin de la suite (Un)
Si c'est un graphique en escalier , il n'y aura alors pas de problème. Pouvez-vous me le confirmer ?

1) OK
2) OK
3) C'est bien ce qu'on t'a expliqué mis à part un détail: poser x=Un et y=Vn ne sert à rien.
En fait, tu sais d'après 2) que Vn=(Un-4)/(Un+1) donc produit en croix: Un-4=Vn(Un+1) ssi Un-4=VnUn+Vn ssi Un-VnUn=Vn+4 ssi
Un(1-Vn)=Vn+4 ssi Un=(Vn+4)/1-Vn
C'est la bonne expression, bien, qu'en effet, ça puisse sembler "un peu lourd".
4) Pour étudier la monotonie d'une suite géométrique, il est préférable de choisir d'étudier Vn+1/Vn, son écriture s'y prêtant beaucoup mieux. Vn+1-Vn serait plutôt réservé à des suites arithmétiques.
Tu trouves Vn+1/Vn=1/6 donc Vn+1/Vn<1 et là attention au signe de Vn; ici Vn est négatif quelque soit n donc quand tu multiplies les deux membres de l'inégalité par Vn, l'inégalité change de sens donc Vn+1/Vn<1 et Vn>0 --> Vn+1>Vn. Donc Vn est croissante.
On peut tout de même étudier la monotonie de Vn en passant par Vn+1-Vn. On obtient alors Vn+1-Vn=(-7/3)(1/6)^n+1-(-7/3)(1/6)^n=(-7/3)(1/6)^n(1/6-1) Or 1/6-1<0 et -7/3(1/6)^n<0 donc Vn+1-Vn>0 et on aboutit au même résultat.
5) C'est bien un graphique en escalier qu'on obtient à partir de la représentation graphique de f.

Je te remercie infiniment et merci d'avoir consacré ton temps.