Lieu géométrique, DM de maths

Sujet du devoir

Dans un repère (O,i,j), on note P la parabole d'équation y=x² et A le point de coordonnées (0;1).
Une droite d de coefficient directeur m passe par A et coupe P en M et N.

Objectif: Trouver le lieu du milieu I de [MN]

1) [Il est toujours bon de faire une figure]

Faites-la

2) [Lorsque d pivote autour de A, on conjecture que M et N existent toujours. Prouvons-le.
Pour trouver les points d'intersection des deux courbes Cf et Cg d'équations y=f(x) et y=g(x), on raisonne en général comme suit.
Dire que M, de coordonnées (u;v), appartient à l'intersection de Cf et Cg équivaut à dire que v=f(u) et v=g(u).
Donc u est solution de l'équation f(x)=g(x), dite équation aux abscisses.]

Démontrez que l'équation aux abscisses est :
x²-mx-1=0
POurquoi cette equation a-t-elle toujours 2 racines distinctes x1 et x2?

3) [Si on note, par exemple, x1 l'abscisse de M et x2 celle de N, on sait trouver , en fonction de x1 et x2, les coordonnées (xI;yI) du point I milieu de [MN]. Il est alors inutile de calculer x1 et x2.]

a)Vérifiez que :
xI= (x1+x2)/2 et yI=m/2(x1+x2)+1

b) Déduisez-en, en fonction de m, les coordonnées du point I.


4)[Pour trouver le lieu L de I, on essaie d'abord de trouver une relation entre xI et yI]

a) Prouvez que I appartient à la parabole C d'équation y=2x²+1

b) Réciproquement, il reste désormais à répondre à la question suivante : "Le point I décrit-il toute la courbe C?"
Lorsque m décrit R, prouvez que x1 décrit R et déduisez-en que I décrit toute la courbe C


##Les passages entre crochets sont sensé nous montrer la façon de raisonner afin de résoudre l'exercice, j'ai préféré les inclure pour que vous ayez le même texte que moi##

Où j'en suis dans mon devoir

Bon alors j'ai déjà répondu aux premières questions:

1) Pas de problèmes

2)Bon en suivant le raisonnement du passage entre crochets, on voit vite que la parabole P a : y=x² et que la droite d a : y=mx+1
On obtient vite x²=mx+1 qui fait x²-mx-1=0
Après en calculant delta on voit qu'il ne peut qu'être supérieur à 0, il a donc 2 racines

3)
a)

on a : xI=(xM+xN)/2 ce qui donne (x1+x2)/2
et pour yI :
yI= (yM+yN)/2 et on a yM=mx1+1 et yN=mx2+2 ce qui donne une fois la forme d'écriture du calcul changé : m/2(x1+x2)+1

Et c'est au 3)b) que je coince, ça fait un bon moment que je suis dessus et que je ne trouve pas de soltuion, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.
Merci!