Suite Géométrique "Revenu dans le cas d'un effet de retard"

Sujet du devoir

Bien souvent, la consommation d'un pays est fonction du revenu de l'année précédente.

Si on note Cn la consommation et Yn le revenu de l'année n , on suppose que :
Cn = 0,9 x Y(n-1) + 200 pour n > ou égal à 1
0,9 est la propension marginale à consommer (90% du revenu) et 200 est la consommation incompressible.
En macroéconomie fermée, dans la théorie keynésienne, le revenu l'année n est liée a la consommation par :
Yn = Cn + I , où I est l'investissement, indépendant de l'année considérée.
Dans ce probleme, on suppose que I = 100 et Y0 = 4500

1° Montrer que Yn = 0,9Y(n-1) + 300
2° On considère la suite Zn définie par :
Zn = Yn - 3000.
a) Montrer que la suite (Zn) est géométrique, de terme initial Z0 = 1500.
b) En déduire l'expession de Zn en fonction de n ; puis de Yn en fonction de n.

Où j'en suis dans mon devoir

Jai déjà fait :
1° Je sais que : Yn = Cn + I où I = 100 et Cn = 0,9 x Y(n-1) + 200 pour n > ou égal à 1
D'où : Yn = 0,9Y(n-1) + 200 + 100
Yn = 0,9Y(n-1) + 300 ( pour n > ou égal à 1 )

2°a: Je sais que : Zn = Yn - 3000 et Y0 = 4500
D'où : Z0 = 4500 - 3000
Z0 = 1500

Après pour démontrer que c'est une suite géométrique je pensais à :
0,9Y(n-1) + 300 / Yn