Suite par récurrence, fonction et dérivé.

Sujet du devoir

Bonjour,
Voici les énoncés :

Exercice 1 :
Soit alpha un réel strictement positif
Soit P(n) la propriété : « (1+alpha)^n => 1+n*alpha » pour tout n de IN
Montrer que P(n) est vrai pour tout n de IN

Exercice2 :
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel par U0=2 ; U(n+1)=racine de 2*U(n)+1
Montrer que (Un) est croissante

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 :
Initialisation
Pour alpha=0
P(n)=(1+alpha)^n => 1+n*alpha
P(0)=(1+0)^n => 1+0*0
1=>1
La propriété est vrai au rang 0

Hérédité
On suppose que pour un entier n et alpha strictement positif que la propriété P(n)=(1+alpha)^n => 1+n*alpha est vrai. Montrons qu'alors P(n+1)=(1+alpha)^n +1=> 1+n+1*alpha.

Raisonnement
Je dois normalement commencer par P(n) pour obtenir P(n+1) mais je n'arrive pas a trouver le petit filon.


Exercice 2 :
U(n+1)=racine de 2*U(n)+1
f(x)=racine de2x+1
f'(x)=1/2racine de 2x+1

J'ai réalisé un tableau de variations :
1er ligne : x| 0 +l'infini
2ème ligne : f'(x)| +
3ème ligne : f | flèche croissante

Initialisation :
U0=2 ; U1=racine de 5
U1=>U0
La propriété est vrai au rang 1.

Hérédité :
On suppose que pour un entier n, U(n)>0. Montrons qu'on a U(n+1)=>U(n)

Raisonnement :
D'après l'hypothèse de récurrence, on a U(n+1)=>U(n). Or f est strictement croissante sur [0;+l'infini[, donc f(U(n+1))=>f(U(n)). A l'aide du raisonnement par récurrence, on vient de démontrer que pour un entier n, on a U(n+1)=>U(n).

Conclusion :
On peut donc dire que la suite U(n) est croissante.


Merci d'avance pour votre précieuse aide.