Exercice de Math : Parallèles, théorème des milieux - 3ème

Sujet du devoir

ABCD est un parallélogramme de centre S (attention, ni un carré, ni un rectangle). Le point F est le symétrique de D par rapport à B et le point E est le symétrique de A par rapport à C.

1. Dans le triangle SEF, démontrer que les droites (CB) et (EF) sont parallèles.


2. La droite (CB) coupe la droite (AF) en K. Démontrer que K est le milieu de [AF].


3. Que représente B dans le triangle ACF ?


4. Démontrer que la droite (AB) coupe le segment [CF] en son milieu L.

Où j'en suis dans mon devoir

1. Dans le triangle SEF, si l'on utilise la droite des milieux : - Soit F est le symétrique de D par rapport à B. On a alors B milieu de [DB]. - Soit E est le symétrique de A par rapport à C. On a alors C milieu de [AE]. D'après le théorème des milieux, [BF]=[CE] donc (BC) est bien parallèle à (FE).


2. On sait grâce au théorème des milieux que si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu : - (BC) coupe DF en son milieu - (BC) et parallèle à (FE). Donc, d'après le théorème des milieux, (CB) coupe la droite [AF] en son milieu.


3. B est l'intersection des médianes du triangle ACF. Il est donc le centre de gravité de ce triangle.


4. (AB) est une médiane de ACF, elle coupe bien le segment [CF] en son milieu.