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Sujet du devoir
Soit ABC un triangle. On propose de démontrer que :Le point G est le centre du triangle ABC si et seulement si :
GA + GB + GC = 0
Rappel : Le centre de gravité d'un triangle est le point de concours des médianes.
A:Directe : On supose que le point G est le centre de gravité du triangle ABC. Soit J est le milieu du segment [AC] et K le milieu du segment [AB].
On introduit le point D tel que G est le milieu de [AD]
1Démontrer que les droites (GJ) et (DC) sont parallèles, ainsi que les droites (KG) et (BD).
2En déduire que BGCD est un parallélogramme.
3Montrer que :GD + GA = 0
En déduire que: GA + GB + GC = 0
B réciproque : On suppose que GA + GB + GC + 0
Soit I le milieu de [BC].
1Traduire vectoriellement cette hypothèse. En déduire que : GA + GB + GC = GA + 2GI
2Montrer que les vecteurs GA et GI sont colinéaires.
3En deduire que G appartient à (AI) et retrouver la relation AG = 2/3 AI
4 Démontrer de même que G appartient au deux autres médianes issues de B et de C.
Conclure.
Application : Soit PQR un triangle quelconque. On donne le point G defini par:
PG = 1/3 (PQ + PR)
Démontrer que G est le centre de gravité du triangle PQR.
Où j'en suis dans mon devoir
Mon problème c'est que je ne vois pas comment faire sans coordonnées,car j'arrive facilement les exercices de vecteurs colinéaires mais il y avait toujours les coordonnées des points ...Aussi je ne suis pas sur de ce qu'il faut faire, faut t'il faire que l'application, ou que les méthodes ou les deux ?
PS : Je sais que j'ai déjà posté ce devoir mais j'avais fais des erreurs dans le sujet, et il y a pas de fonction editer sur ce site ...
5 commentaires pour ce devoir
Pour le reste, utilise la théorie et applique la au triangle.
A)
1) Démontrons que les droites (GJ) et (DC) sont parallèles, ainsi que les droites (KG) et (BD).
Quand tu traces le triangle ABC et que tu trace les médianes tu fais apparaitre deux autres triangles le triangle ADC et ADB.
Tu sais que : AJ=1/2AC et AG=1/2AD donc par la réciproque de Thalès si :
AG/AD=AJ=AC alors les droites sont parallèles.
Application numérique:
----------------------
AG/AD = 1/2*AD/AD= 1/2
AJ/AC = 1/2*AC/AC= 1/2
Donc AG/AD=AJ/1C par conséquent les droites (GJ) et (DC) sont parallèles.
Même démarche pour les autres droites parallèles.
2) on a : (JG)//(CD) alors (JB)//(CD) et etant donnée que G appartient a (CD) alors (BG)//(CD) et
(BD)//(KG)alors (BD)//(KC) et etant donnée que G appartient à (KC) alors (GC)//(BD°
Par conséquent : BGCD est un parallélograme.
3) vecteur GD = - vecteur GA
Alors vecteur GD-vecteur GA = vecteur nul
- on sait que : vecteur GC = vecteur GD - vecteur GB
donc on remplace
vecteur GA+vecteur GB+Vecteur GC
= vecteur GA+vecteur GB+vecteur GD -vecteur GB
= vecteur GA+vecteur GD (on a deja montre que c'est egale a vecteur nul)
Par consequent vecteur GA+vecteur GB+vecteur GC = vecteur nul
B) 1) vecteur GB+vecteur GC= 2GI
alors : on remplace
ca fait GA+GB+GC
donc GA+2GI=GA+GB+GC
2) on sait que GA = -2GI
GA=αGI et vecteur GA et GI ont un point commun qui est G
donc : vecteur GA et vecteur GI sont colinéaire.
3 et 4)AI est une mediane , AC est une mediane et BJ est une mediane leur point de concour est le centre de gravité donc G appartient a AI , AC et BJ.
1) Démontrons que les droites (GJ) et (DC) sont parallèles, ainsi que les droites (KG) et (BD).
Quand tu traces le triangle ABC et que tu trace les médianes tu fais apparaitre deux autres triangles le triangle ADC et ADB.
Tu sais que : AJ=1/2AC et AG=1/2AD donc par la réciproque de Thalès si :
AG/AD=AJ=AC alors les droites sont parallèles.
Application numérique:
----------------------
AG/AD = 1/2*AD/AD= 1/2
AJ/AC = 1/2*AC/AC= 1/2
Donc AG/AD=AJ/1C par conséquent les droites (GJ) et (DC) sont parallèles.
Même démarche pour les autres droites parallèles.
2) on a : (JG)//(CD) alors (JB)//(CD) et etant donnée que G appartient a (CD) alors (BG)//(CD) et
(BD)//(KG)alors (BD)//(KC) et etant donnée que G appartient à (KC) alors (GC)//(BD°
Par conséquent : BGCD est un parallélograme.
3) vecteur GD = - vecteur GA
Alors vecteur GD-vecteur GA = vecteur nul
- on sait que : vecteur GC = vecteur GD - vecteur GB
donc on remplace
vecteur GA+vecteur GB+Vecteur GC
= vecteur GA+vecteur GB+vecteur GD -vecteur GB
= vecteur GA+vecteur GD (on a deja montre que c'est egale a vecteur nul)
Par consequent vecteur GA+vecteur GB+vecteur GC = vecteur nul
B) 1) vecteur GB+vecteur GC= 2GI
alors : on remplace
ca fait GA+GB+GC
donc GA+2GI=GA+GB+GC
2) on sait que GA = -2GI
GA=αGI et vecteur GA et GI ont un point commun qui est G
donc : vecteur GA et vecteur GI sont colinéaire.
3 et 4)AI est une mediane , AC est une mediane et BJ est une mediane leur point de concour est le centre de gravité donc G appartient a AI , AC et BJ.
Même si j'ai finis pas trouver seul ces deux exercices, sa ma quand même aidé pour voir si j'avais bon; merci .
O-o ! Ta vraiment étais clair et complet (malgré quelque fautes de frappes et d'erreurs d'etourderie mais rien de grave ^_^') merci beaucoup j'ai pus terminer tous les exercices grace à toi !
Ils ont besoin d'aide !
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Quant au deuxième, utilise le fait qu'un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parralèlogramme (à l'aide de la question 1 et de la définition du centre de gravité).