DM de math sur les vecteurs colinéaires; bloqué au début par un problème bête ...

Sujet du devoir

Soit ABC un triangle. On propose de démontrer que :

Le point G est le centre du triangle ABC si et seulement si :
-> -> -> ->
GA + GB + GC = 0

Rappel : Le centre de gravité d'un triangle est le point de concours des médianes.

A:Directe : On supose que le point G est le centre de gravité du triangle ABC. Soit J est le milieu du segment [AC] et K le milieu du segment [AB].

On introduit le point D tel que G est le milieu de [AD]
1Démontrer que les droites (GJ) et (DC) sont parallèles, ainsi que les droites (KG) et (BD).

2En déduire que BGCD est un parallélogramme.

3Montrer que : -> -> ->
GD + GA = 0
En déduire que -> -> -> ->
GA + GB + GC = 0

B réciproque : On suppose que -> -> -> ->
GA + GB + GC + 0
Soit I le milieu de [BC].
1Traduire vectoriellement cette hypothèse. En déduire que :
-> -> -> -> ->
GA + GB + GC = GA + 2GI

2Montrer que les vecteurs -> ->
GA et GI sont colinéaires.
3En deduire que G appartient à (AI) et retrouver la relation -> 2 ->
AG = - AI
3
4 Démontrer de même que G appartient au deux autres médianes issues de B et de C.
Conclure.

Application : Soit PQR un triangle quelconque. On donne le point G defini par:
-> 1 -> ->
PG = -(PQ + PR)
3

Démontrer que G est le centre de gravité du triangle PQR.

Où j'en suis dans mon devoir

Mon problème c'est que je ne vois pas comment faire sans coordonnées,car j'arrive facilement les exercices de vecteurs colinéaires mais il y avait toujours les coordonnées des points ...

Aussi je ne suis pas sur de ce qu'il faut faire, faut t'il faire que l'application, ou que les méthodes ou les deux ?