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Sujet du devoir
"Identité de Brahmagupta, mathématicien indien du VIIe siecle: pour a,b et n trois nombres naturels non nuls tel que a2 - nb2 = 1,on a:
a2+nb2/2ab= √n+ 1/4a2+b2
1. a. Réécrire cette identité pour n=7
b. Expliquer pourquoi, pour a et b très grand, on peut écrire que √7 = a2+ 7b2/2ab
c. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche toutes les valeurs entières a et b de 1 a 10000 verifiant a2-7b2=1
"Pour b allant de ... a....
Pour a allant de...a...
Si... alors
Afficher a et b
Fin si...
Fin pour...
Fin pour..."
2.a. Démontrer que:
a2-7b2=(a-√7xb)(a+√7xb)
b. En déduire que si a2-7b2 est positif, alors a est supérieur à 2b.
c. A l'aide de cette information, modifier l'algorithme précédent pour l'optimiser puis le coder en Python.
d. En utilisant les plus grandes valeurs de a et b trouves grâce à ce programme, ecrire la fraction a2+nb2/2ab
e. Peut on déterminer a la calculatrice la précision a laquelle cette fraction approche √7? Pourquoi?
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1 commentaire pour ce devoir
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Salut
1) a) Tu dois simplement remplacer n dans ton équation par 7
b) Est-ce que vous avez déjà vu les limites ? Si oui tu dois partir de l'équation de la question 1)a) et supposer a et b très grands comme le demande l'énoncé
Grâce à cette supposition, des termes dans ta racine peuvent se supprimer et tu obtiens l'équation demandée !
c) Le programme que tu dois compléter a pour objectif d'afficher toutes les valeurs de a et de b (comprises entre 1 et 10 000) qui vérifient a² - 7b² = 1
Donc les 2 premières lignes servent à vérifier chaque combinaison ! Exemple : a = 1 et b = 1, puis a = 1 et b = 2... jusque a = 1 et b = 10 000 puis on recommence avec a = 2 et b = 1, a = 2 et b = 2 ... et ainsi de suite !
Donc finalement a et b doivent chacun aller de 1 à 10 000
La troisième ligne est la condition. Pour quelle condition on doit afficher les valeurs de a et de b ?
2) a) Quand on doit démontrer une égalité, il faut partir d'un des 2 côtés et obtenir l'autre côté.
Je te conseille de démarrer de la partie de droite avec les parenthèses que tu développeras jusqu'à obtenir la partie de gauche
Voilà le début essaye avec ça