Inégalité, fonction, variations

Sujet du devoir

Problème ou exercice:

On considère la fonction f definie sur [1;+ infini[ par : f(x)=(x-1)²-1
On se propose d'étudier ses variations.

Premières méthodes: Règle sur les [i]inégalités
Soit a et b deux réels de [1;+ infini[ tels que a inférieure ou égal à b.

Recopier et compléter les inégalités suivantes:
a inferieure ou égal à b donc :

a-1 ... b-1
or a-1 ... 0 et b-1 ... 0, donc :
(a-1)²...(b-1)² soit :
(a-1)²-1 ...(b-1)²-1 d'où :
f(a) .. f(b)

On peut donc dire que la fonction f est ... ... [1;+ infini[.

Seconde méthode : Utilisation de la définition

Soit a et b deux réels de [1;+ infini[ tels que a inférieure ou égal à b
Montrer que f(b)-f(a) = (b-a)(a+b-2).
Recopier et compléter les inégalités suivantes :
Comme a inferieure ou égal à b, alors b-a ... 0 ;
Comme a et b supérieures ou égals à 1, alors a+b-2 .. 0
On en déduit que f(b)-f(a) ... 0
On peut donc dire que la fonction f est ... ... [1;+ infini[

Où j'en suis dans mon devoir

On considère la fonction f definie sur [1;+ [ par : f(x)=(x-1)²-1
On se propose d'étudier ses variations.

Premières méthodes: Règle sur les inégalités
Soit a et b deux réels de [1;+ infini[ tels que a inférieure ou égal à b.

Recopier et compléter les inégalités suivantes:
a inferieure ou égal à b donc :

a-1 inférieure ou égale b-1
or a-1 > 0 et b-1 > 0, donc :
(a-1)²inférieure ou égale (b-1)² soit :
(a-1)²-1 inférieure ou égale (b-1)²-1 d'où :
f(a)inférieure ou égale f(b)

On peut donc dire que la fonction f est croissante sur [1; [.

Seconde méthode
Soit a et b deux réels de [1;+ infini[ tels que a inférieure ou égal à b
Montrer que f(b)-f(a) = (b-a)(a+b-2). Je n'ai pas reussi à démontrer(Que faire ?)
Recopier et compléter les inégalités suivantes :
Comme a inferieure ou égal à b, alors b-a > 0 ;
Comme a et b supérieures ou égals à 1, alors a+b supérieure ou égal à 2 Soit a+b-2 supérieur 0

On en déduit que f(b)-f(a)> 0
On peut donc dire que la fonction f est croissante


Alors voilà dites moi si c'est juste ete si c'est juste et comment montrer que que f(b)-f(a) = (b-a)(a+b-2).
MERCI !