Le nombre d'or

Bonjour,

Oui, posé sous cette forme à un élève de seconde, cela me semble un peu compliqué, néanmoins il existe sur le net de la doc concernant ce fameux à commencer par wikipédia :

"Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1. Il vaut exactement :
{1+\sqrt{5}/2", soit environ 1,618 033 989

Quand à trouver une démarche simple pour trouver une valeur approchée de ce nombre, je vais regarder.

Lorsqu'on te dit que son cube est = à son double + 1, celà se traduit par : x^3=2x+1

bonjour julien54,

On te dit que le nombre est le nombre positif tel que son cube est égal a son double augmenté de 1.

Si on pose X comme étant le nombre d'or.
X^3 = 2X + 1

si je passe du même côté
X^3 - 2X - 1= 0
tu peux aussi écrire
X^3 - X - X - 1 = 0
(X^3 - X) - (X + 1) = 0
X(X² - 1) - (X + 1) = 0
donc identité remarquable (X²-1)
X(X - 1)(X+1) - (X + 1) = 0
(X+1)[X(X-1) - 1] = 0
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul

>" x + 1 " est différent de 0, sinon " x " serait égal à " - 1 "
mais on te dit que X est forcement positif

> donc c'est l'autre facteur, qui est nul
[X(X-1) - 1] = 0

En poussant le raisonement par curiosité:

[X(X-1) - 1] = 0

x(x-1)=1
puisque x-1 n'est pas nul on peut ecrire et x different de -1
x = 1/ (x-1)
1/x = x - 1
x = 1/x +1

x = 1 + 1/x = 1+ 1/(1+1/x) = 1+1/(1+1/(1+1/x))) etc etc...

en supposant 1/x négligeable par rapport à 1, on peut obtenir une valeur approchée

x = 1 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1)))) = 13/18

13/8 ....!!!