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Sujet du devoir
Calculs avec le nombre d'orSoit un réel r=1+V5/2(c'est le nombre d'or) ( /=trait de fraction)
1.a. Calculer r² et vérifier que r²=r+1.
b. En déduire une solution de l'équation: x²-x-1=0.(on ne demande pas de résoudre cette équation).
2.a. Montrer que: 1/r=r-1
b. Connaissez-vous un nombre dont l'inverse est égal à lui-même diminué de un?
3.a. Montrer, sans développer r^3 que r^3=2r+1
b. Montrer, de même, que: r^4=3r+2
Pour tout réel x, on pose: P(x) = 1+x+x²+x^3
4.a. Montrer que: P(r) =4r+3. En déduire que : P(1+V5/2)= 5+2V5.
b. Montrer que : P(1/r) = 4r+3/2r+1.
c. Calculer r-1 et en déduire que : P(V5-1/2)=V5.
Où j'en suis dans mon devoir
12 commentaires pour ce devoir
1.a. Calculer r² et vérifier que r²=r+1.
utilise l'identité remarquable :
(A+B)² = A² + 2AB + B²
b. si r²=r+1. donc r²-r-1=0 donc..... (a toi de conclure)
2.a. Montrer que: 1/r=r-1
multiple de chaque cote par r pour trouver la reponse
b. Connaissez-vous un nombre dont l'inverse est égal à lui-même diminué de un?
tu poses x ce nombre et l'inverse = 1/x
et l'équation est
1/x=x-1... miracle .. non?
3.a. Montrer, sans développer r^3 que r^3=2r+1
utilise les deux formules précédentes
la suite se fait pareil... il faut 'jouer' avec les formules et les combiner
utilise l'identité remarquable :
(A+B)² = A² + 2AB + B²
b. si r²=r+1. donc r²-r-1=0 donc..... (a toi de conclure)
2.a. Montrer que: 1/r=r-1
multiple de chaque cote par r pour trouver la reponse
b. Connaissez-vous un nombre dont l'inverse est égal à lui-même diminué de un?
tu poses x ce nombre et l'inverse = 1/x
et l'équation est
1/x=x-1... miracle .. non?
3.a. Montrer, sans développer r^3 que r^3=2r+1
utilise les deux formules précédentes
la suite se fait pareil... il faut 'jouer' avec les formules et les combiner
x²-x-1=0
x²-(x+1)=0
si x²=x+1
donc de la même forme que r²=r+1 donc r (=1+V5/2)est solution
x²-(x+1)=0
si x²=x+1
donc de la même forme que r²=r+1 donc r (=1+V5/2)est solution
1/r=r-1 ?
1/r= l'inverse de r (puisque pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse
donc 1/r=2/(1+V5)
r-1=(1+V5)/2 -1=(1+V5)/2 -2/2=(1+V5-2)/2=(V5-1)/2
donc on a 2/(V5+1)=(V5-1)/2 ?
1/r= l'inverse de r (puisque pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse
donc 1/r=2/(1+V5)
r-1=(1+V5)/2 -1=(1+V5)/2 -2/2=(1+V5-2)/2=(V5-1)/2
donc on a 2/(V5+1)=(V5-1)/2 ?
r³=r² x r donc =(r+1)r=r²+r=(r+1)+r=2r+1
r^4=r²xr²=(r+1)²=r²+1+2r=r+1+1+2r=3r+2
r^4=r²xr²=(r+1)²=r²+1+2r=r+1+1+2r=3r+2
Je ne sais pas comment concuire pour le 1.b.
r est le nombre que tu cherches dans le 1b
Je dois remplacer les r par 1+V5/2
Non juste r
r est le nombre dont l'inverse est egale a lui même ote de un
r est le nombre dont l'inverse est egale a lui même ote de un
Vous pouvez maider pour le 4
P(x) = 1+x+x²+x^3
donc
P(r) = 1+r+r²+r^3
or r^3=2r+1 et r²=r+1 , remplace dans P(r)
apres tu remplace r par 1+V5/2 pour calculer P(1+V5/2)
b. Montrer que : P(1/r) = 4r+3/2r+1
tu fait x=1/r donc P(1/r) =1+1/r+(1/r)²+(1/r)^3 et avec 1/r=r-1 tu devrais trouver
donc
P(r) = 1+r+r²+r^3
or r^3=2r+1 et r²=r+1 , remplace dans P(r)
apres tu remplace r par 1+V5/2 pour calculer P(1+V5/2)
b. Montrer que : P(1/r) = 4r+3/2r+1
tu fait x=1/r donc P(1/r) =1+1/r+(1/r)²+(1/r)^3 et avec 1/r=r-1 tu devrais trouver
Bonjour...
Je suis penible mais j'aime le precision....
Lorsque tu ecrit 1 + V5/2 c'est 1 + 2,23/2 = 1+1,15 = 2,15
Le nombre d'or c'est (1 + V5) /2 la parenthese est tres importante.
Je suis penible mais j'aime le precision....
Lorsque tu ecrit 1 + V5/2 c'est 1 + 2,23/2 = 1+1,15 = 2,15
Le nombre d'or c'est (1 + V5) /2 la parenthese est tres importante.
Ils ont besoin d'aide !
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=(1+5+2V5)/4 =(6+2V5)/4=(3+V5)/2=3/2 + V5/2 = (1/2)+2/2 +V5/2
=(1+V5)/2 +1=r+1