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Sujet du devoir
"Le but de l'exercice est de déterminer la valeur exacte de sin 15° ".Sujet :
"Dans la figure ci-contre,
Le triangle ABC est équilatéral et AB = 2 cm .
Le triangle BCD est isocèle et rectangle en D .
H est le pied de la hauteur issue de A .
Où j'en suis dans mon devoir
1) Montrer que le point D est sur la droite (AH)> Peut être y a-t-il une propriété ? (Avis personnel) .
2) Calculer la mesure de l'angle ABD
> J'opterai pour sin, tan ou cos (A confirmer...)
3) Montrer que AH = \/- 3 (Racine carrée de 3)
et AD = \/- 3 - 1 (Racine carrée de 3 moins 1)
> Je n'ai aucune idée de comment pouvoir faire, merci de m'expliquer clairement et en détails particulièrement pour cette question (Idem pour questions 4 , 5 et 6) ...
4)Soit K le pied de la hauteur issue de D du triangle ABD.
a) Montrer que KD = \/- 2 * sin 15° (Racine carré de 2 fois sinus 15 degrés).
b) En déduire l'expression de l'aire du triangle ABD EN FONCTION DE sin 15 ° .
5) On veut calculer l'aire du triangle ABD par une autre méthode :
a) Calculer l'aire exacte des triangles ABH et BDH.
b) En déduire l'aide du triangle ABD.
> L'aire de ABH ajoutée à celle de BDH donnera l'aire de ABD, seule question, comment calculer les aires de ABH et BDH ?
\/- 6 - \/- 2
6) Déduire des questions précédentes que sin 15° = _______________
4
> ( sin 15° = [Racine carré de 6 moins racine carrée de 2] sur 4 )
11 commentaires pour ce devoir
1) Je dirai que comme ABC est equilateral H coupe BC en son milieu et comme BCD est isocele le point H est aussi la hauteur du triangle BCD (je ne suis pas sur à 100% à verifier)
2) Angle ABD = Angle ABC + Angle CBD
Angle ABC = 60° car triangle equilateral donc les 3 angles sont identiques 180/3
Angle CBD = 30° car on est dans un triangle isocele regarde ton cours
Angle ABD = 60 + 30 = 90
3) AH est la hauteur de ton triangle ABC donc AHC forme un triangle rectangle en H, tu peux donc ecrire pythagore dans se triangle.
AC² = AH² + HC²
HC = 1 car la hauteur coupe l'axe en son milieu
AH² = AC² - HC²
AH² = 2² - 1² = 4-1
AH = V3
2) Angle ABD = Angle ABC + Angle CBD
Angle ABC = 60° car triangle equilateral donc les 3 angles sont identiques 180/3
Angle CBD = 30° car on est dans un triangle isocele regarde ton cours
Angle ABD = 60 + 30 = 90
3) AH est la hauteur de ton triangle ABC donc AHC forme un triangle rectangle en H, tu peux donc ecrire pythagore dans se triangle.
AC² = AH² + HC²
HC = 1 car la hauteur coupe l'axe en son milieu
AH² = AC² - HC²
AH² = 2² - 1² = 4-1
AH = V3
Et pour AD je cale complet
tu ne connais pas la valeur de ton triangle isocele?
tu ne connais pas la valeur de ton triangle isocele?
Non, on sait juste que D est un point du segment AH ...
Alors la je comprends pas comment faire.
J'espere qu'un autre correcteur va passer par ici
J'espere qu'un autre correcteur va passer par ici
slt,
je pense qu'en utilisant la trigonométrie, on peut savoir un des côtes du triangle isocèle. En faisant, CB/2 (car triangle équilatéral) on peut connaitre HB. puis en utilisant la tangente on a : sin ^h=opposé/hypoténuse =DB/HB alors sin 90°= DB/1 donc DB= sin 90°*1 = 1.
Mais je crois que le résultat est FAUX. La démarche doit être comme ça, je pense.
je pense qu'en utilisant la trigonométrie, on peut savoir un des côtes du triangle isocèle. En faisant, CB/2 (car triangle équilatéral) on peut connaitre HB. puis en utilisant la tangente on a : sin ^h=opposé/hypoténuse =DB/HB alors sin 90°= DB/1 donc DB= sin 90°*1 = 1.
Mais je crois que le résultat est FAUX. La démarche doit être comme ça, je pense.
1) Comme BCD est isocèle en D, on a : BD=DC. Donc D appartient à la médiatrice du segment [BC] qui se trouve être également la hauteur issue de A car ABC est équilatéral.
2) ABC=60° car ABC équilatéral.Comme BCD est isocèle de sommet D, on a : CBD=DCB. Or CBD+DCB+90=180 donc CBD+CBD=180-90=90 donc CBD=45 et ABD=ABC-CBD=60-45=15.
3)02didi02 a raison
4)Dans le triangle rectangle KBD, sin15°=KD/BD donc KD=BD*sin15° (produits en croix)
Or BD se calcule en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle BDH: BD²=DH²+BH²=1+1=2 BH=BC/2=2/2 car H est le milieu de [BC] (voir explication de 02didi02 dans 3). Ce qui donne BD=V2 et KD=V2*sin15°
b) aire de ABD=base*hauteur/2=KD*AB/2=V2*sin15°*2/2=V2*sin15°
5)Aire ABH=BH*AH/2=1*(V3-1)/2=(V3-1)/2
Aire BDH=DH*BH/2=1*1/2=1/2
b)Aire(ABD)=AireABH-AireBDH=V3/2-1/2=(V3-1)/2
6)Donc d'après 4)b) et 5)b) on a: V2*sin15°=(V3-1)/2
Donc sin15°=(V3-1)/2V2 on multiplie par V2 en haut et en bas:
V2(V3-1)/2V2*V2=(V6-V2)/2*2=(V6-V2)/4
2) ABC=60° car ABC équilatéral.Comme BCD est isocèle de sommet D, on a : CBD=DCB. Or CBD+DCB+90=180 donc CBD+CBD=180-90=90 donc CBD=45 et ABD=ABC-CBD=60-45=15.
3)02didi02 a raison
4)Dans le triangle rectangle KBD, sin15°=KD/BD donc KD=BD*sin15° (produits en croix)
Or BD se calcule en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle BDH: BD²=DH²+BH²=1+1=2 BH=BC/2=2/2 car H est le milieu de [BC] (voir explication de 02didi02 dans 3). Ce qui donne BD=V2 et KD=V2*sin15°
b) aire de ABD=base*hauteur/2=KD*AB/2=V2*sin15°*2/2=V2*sin15°
5)Aire ABH=BH*AH/2=1*(V3-1)/2=(V3-1)/2
Aire BDH=DH*BH/2=1*1/2=1/2
b)Aire(ABD)=AireABH-AireBDH=V3/2-1/2=(V3-1)/2
6)Donc d'après 4)b) et 5)b) on a: V2*sin15°=(V3-1)/2
Donc sin15°=(V3-1)/2V2 on multiplie par V2 en haut et en bas:
V2(V3-1)/2V2*V2=(V6-V2)/2*2=(V6-V2)/4
Dans la question 3) avec tous ces angles droites et la racine carrée, tu aurais dû avoir le réflexe Pythagore. Toutefois cet exercice est bien difficile pour des élèves de troisième, c'est pour ça que je t'ai donné une réponse détaillée.
Dans la question 3) , je ne comprend pas le résonnement possible pour montrer que AD = V3 - 1 .. Peux-tu m'expliquer ..?
Dans la question 5)a) , Aire de ABH = (V3-1)/2
et dans la question 5)b), Aire de ABH = V3 / 2
C'est une erreur de recopiage ? Laquelle des valeurs est la bonne ?
et dans la question 5)b), Aire de ABH = V3 / 2
C'est une erreur de recopiage ? Laquelle des valeurs est la bonne ?
Aire de ABH=V3/2
Excuse
Excuse
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car comme tu dis il est long