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Sujet du devoir
Svp c pou demain vous pouvez m aider ji arrive pas
En Inde, une vieille légende raconte comment un Brahmane, membre d’une caste religieuse fut récompensé pour
avoir inventé le jeu d’échec.
Le roi fut tant émerveillé lorsque le Brahmane lui apprit le jeu qu’il lui proposa de choisir la récompense qu’il
souhaitait.
Le Brahmane demanda alors la quantité de grains de blé qu’il serait nécessaire pour remplir les 64 cases d’un
échiquier en respectant la condition suivante : chaque case doit contenir deux fois plus de grains de blé que la
précédente sachant que la première case ne contient qu’un seul grain.
Soit :
• 1 grain de blé sur la première case
• 2 grains sur la seconde
• 4 grains sur la troisième (soit 2 x 2)
• 8 grains sur la quatrième (soit 2 x 2 x2) etc….
Le roi accepta la demande en se disant que celle-ci était plutôt modeste. Mais lorsqu’un arithméticien résolut le
problème, le roi se rendit compte que le Brahmane l’avait dupé et que la quantité de grains de blé qu’il demandait
était impossible à fournir.
1- Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ?
2- Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l’échiquier ?
Donner le résultat comme somme de puissances de 2. On pourra utiliser des « …. » pour ne pas écrire tous
les termes.
3- Vérifier que les égalités suivantes sont vraies :
1 + 2 = 2! − 1
1 + 2 + 2! = 2" − 1
1 + 2 + 2! + 2" = 2# − 1
4- On constate alors que cette formule est vraie pour tout entier n :
1 + 2 + 2! + 2" + ⋯ + 2$%& = 2$ − 1
Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 2.
5- En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l’échiquier. Donner
le résultat en écriture scientifique.
Prouver que la quantité exacte de grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615 ; expliquer votre démarche
6- Dans 1m3
, on peut ranger 1,5 million de grains de blé. Le roi dispose d’un grand grenier de 5 m de large sur
10 m de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l’on désire stocker la quantité de grains de blé que recevra le
Brahmane ?
Exprimer le résultat en écriture scientifique. Comparer avec la distance terre-lune.
7- Sachant que 100 grains de blé pèsent 10g, combien pèse un grain de blé ? (Donner le résultat en écriture
scientifique)
8- Calculer la masse de tous les grains de blé en grammes sachant que la valeur approchée
de 264-1 est 1,18447 x 1019. (Donner le résultat en écriture scientifique)
9- Sachant qu’un quintal = 100Kg, convertir le poids total en quintal. (Donner le résultat en écriture
scientifique)
Mais l’histoire finit mal. L’arithméticien du roi conseille d’enfermer le Brahmane dans son propre piège en lui
demandant de compter lui-même les grains de blé.
10- Sachant qu’il faudra 6 mois pour compter 1 m3
, combien d’années lui faudrait-il pour dénombrer l’ensemble
de sa récompense ? (Donner le résultat en écriture scientifique)
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2- Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l’échiquier ?
Sur la première case 1, il y a 1 grain soit 2^0
Sur la première case 2, il y a 2 grains soit 2^1
Sur la première case 3, il y a 4 grains soit 2^2
Sur la première case 4, il y a 8 grain soit 2^3
"..."
Sur la première case 63, il y a 8 grain soit 2^62
Sur la première case 64, il y a 8 grain soit 2^63
La quantité totale de grains sur l'échiquier est donc :
2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + "..." + 2^62 + 2^63
3- Vérifier que les égalités suivantes sont vraies :
1 + 2 = 2^2 − 1
1 + 2 + 2^2 = 2^3 − 1
1 + 2 + 2^2 + 2^3 = 2^4 − 1
1 + 2 = 3
2^2 − 1 = 4 -1 = 3
La première égalité est vraie
1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7
2^3 − 1 = 8 - 1 = 7
La deuxième égalité est vraie
1 + 2 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 + 15
2^4 − 1 = 16 - 1 = 15
La troisième égalité est vraie
4- On constate alors que cette formule est vraie pour tout entier n :
1 + 2 + 2! + 2" + ⋯ + 2$%& = 2$ − 1
Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 2.
1 + 21 + 22 + 23 + … + 263 = 264 - 1
5- En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l’échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
Prouver que la quantité exacte de grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615 ; expliquer votre démarche
1,84 x 1019 - 1
La démarche est simple, je calcule 264 à la calculatrice et je retire 1
18 446 744 073 709 551 616 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615
6- Dans 1m3, on peut ranger 1,5 million de grains de blé. Le roi dispose d’un grand grenier de 5 m de large sur 10 m de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l’on désire stocker la quantité de grains de blé que recevra le Brahmane ?
Exprimer le résultat en écriture scientifique. Comparer avec la distance terre-lune.
18 446 744 073 709 551 615 / 1 500 000 000
= 12 297 829 382, 47303441 m3
= 1,23 x 1010m3
La surface au sol est 50 m2
12 297 829 382, 47303441 / 50 = 245 956 587,6494606882 m
soit 2,46 x 108 m
La distance terre lune est 3,84 x 108m
La hauteur du grenier est de 2,46 x 108 m
7- Sachant que 100 grains de blé pèsent 10g, combien pèse un grain de blé ? (Donner le résultat en écriture scientifique)
La masse d'un grain de blé est :
10/ 100 = 0,1 g
ou 1 x 10-1 g
8- Calculer la masse de tous les grains de blé en grammes sachant que la valeur approchée de 264-1 est 1,18447 x 1019. (Donner le résultat en écriture scientifique)
La masse totale est
1,18447 x 1019 x 10-1
=1,18447 x 1019-1
=1,18447 x 1018 g
9- Sachant qu’un quintal = 100Kg, convertir le poids total en quintal. (Donner le résultat en écriture scientifique)
1 quintal = 100 kg = 100 000 g = 1 x 105 g
La masse totale est donc
1,18447 x 1018 / (1 x 105)
= 1,18447 x 1018 / (105)
= 1,18447 x 1018 x 10-5
= 1,18447 x 1018-5
= 1,18447 x 1013 quintaux
Mais l’histoire finit mal. L’arithméticien du roi conseille d’enfermer le Brahmane dans son propre piège en lui demandant de compter lui-même les grains de blé.
10- Sachant qu’il faudra 6 mois pour compter 1 m3, combien d’années lui faudrait-il pour dénombrer l’ensemble de sa récompense ? (Donner le résultat en écriture scientifique)
On a vu à la question 6 que le volume est
1,23 x 1010 m3
Il faut 6 mois pour compter 1 m3, soit 0,5 années ou 5 x 10-1 années
Il faut donc
1,23 x 1010 x 5 x 10-1
= 1,23 x 5 x 1010 x 10-1
= 1,23 x 5 x 1010-1
= 6,15 x 5 x 109 années
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1- Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ?
Sur la case 1, il y a 1 grains
Sur la case 2, il y a 2 grains
Sur la case 3, il y a 4 grains
Sur la case 4, il y a 8 grains
Sur la case 5, il y a 16 grains
Sur la case 6, il y a 32 grains
Sur la case 7, il y a 64 grains
Sur la case 8, il y a 128 grains
Sur la case 9, il y a 256 grains
A partir de la case 6, il y a 23 grains sur la case.
A partir de la case 6, il y a 28 grains sur la case.
A partir de la case 9, il y a 231 grains sur la case.
A partir de la case 5, il y a 23 grains sur l'échiquier.
A partir de la case 6, il y a 28 grains sur l'échiquier.
A partir de la case 9, il y a 231 grains sur l'échiquier.